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1、山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式，化简即可得到答案。【详解】由诱导公式可得所以选D【点睛】本题考查了诱导公式的简单应用，属于基础题。2.已知向量，且，则（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】根据向量减法的坐标运算，表示出，再由向量垂直的坐标关系即可求得m的值。【详解】因为向量，由向量减法的运算可得又因为，则即解得所以选C【点睛】本题考查了向量减法和乘法的坐标运算，属于基础题。3.若，则（ ）A. B. C.
2、 D. 【答案】A【解析】【分析】将左右两边同时平方，结合同角三角函数关系式及正弦二倍角公式即可求得的值。【详解】因为，左右两边同时平方得因为化简可得即所以选A【点睛】本题考查了同角三角函数关系式、二倍角公式的简单应用，属于基础题。4.已知向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示，结合正弦二倍角公式即可求得的值，代入即可得解。详解】向量，且所以根据向量平行的坐标运算可得由正弦二倍角公式化简可得因为所以则所以选A【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系，正弦二倍角公式的简单应用，三角函数值的求解，属于基础题。5.圆与圆的位置关系是（ ）A. 外切B.
3、 相离C. 相交D. 内切【答案】C【解析】【分析】根据两个圆的圆心距与两个半径的关系，即可判断两个圆的位置关系。【详解】因为圆与圆所以两个圆的圆心距 两个圆的半径分别为 因为所以两个圆相交所以选C【点睛】本题考查了根据两个圆的半径判断圆与圆位置关系，属于基础题。6.若将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得平移后的函数解析式，再根据余弦函数的对称轴即可求解。【详解】将函数的图象向右平移个单位长度即可得根据余弦函数的对称轴方程可知解得，所以选D【点睛】本题考查了余弦函数的平移变化与对称轴方程求法，属于基础题。7.位于潍
4、坊滨海的“滨海之眼”摩天轮是世界上最高的无轴摩天轮，该摩天轮的直径均为124米，中间没有任何支撑，摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟，当乘客乘坐摩天轮到达最高点时，距离地面145米，可以俯瞰白浪河全景，图中与地面垂直，垂足为点，某乘客从处进入处的观景舱，顺时针转动分钟后，第1次到达点，此时点与地面的距离为114米，则（ ）A. 16分钟B. 18分钟C. 20分钟D. 22分钟【答案】C【解析】【分析】根据摩天轮的直径和所给线段，求得OD的值；再作，。根据OE与OB的长度，求得的度数，即可得的度数，进而根据顺时针旋转即可求得经过的时间t。【详解】根据题意，作，如下图所示：直径为，则，所以则
5、所以 ，即所以因为摩天轮顺时针匀速旋转一圈需要30分钟所以从A到B所需时间为分钟所以选C【点睛】本题考查了圆及其性质的应用，属于基础题。8.若在上是增函数，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据辅助角公式，化简函数解析式，再根据函数单调递增条件求得单调递增区间，进而求得 的最大值。【详解】因为，由辅助角公式可得则的单调递增区间为 因为在上是增函数则 的最大值是 所以选B【点睛】本题考查了辅助角公式的用法，正弦函数单调区间的求法，属于基础题。9.已知直线与圆交于两点（为坐标原点），且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线与圆相交，结
6、合垂径定理及点到直线距离公式即可求得参数m的值。【详解】因为直线与圆交于两点，且所以圆的半径为 ，由点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离为 由垂径定理可得 代入可得解方程可得 所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理的简单应用，属于基础题。10.如图，在平行四边形中，点为的中点，连接，并延长交于，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形性质及E为OC中点，由相似三角形可得，结合向量线性运算可得解。【详解】在平行四边形中，点为的中点，且延长后交于所以根据向量线性运算可知所以选D【点睛】本题考查了平行四边形的性质，向量的线性运算，属于基础题。11.“
7、圆材埋壁”是九章算术中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，1尺=10寸）（ ）A. 6.33平方寸B. 6.35平方寸C. 6.37平方寸D. 6.39平方寸【答案】A【解析】【分析】连接OC，设半径为r，则，在直角三角形中应用勾股定理即可求得r，进而求得扇形的面积，减去三角形即可得阴影部分的面积。【详解】连接OC，设半径为r，寸，则在直
8、角三角形中， 即，解得 则 ，所以则所以扇形的面积 三角形的面积 所以阴影部分面积为所以选A【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系在实际问题中的应用，三角形函数的概念及扇形面积公式的应用，属于基础题。12.已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据可知O为的重心；根据点M在内，判断出当M与O重合时，最小；当M与C重合时，的值最大，因不含边界，所以取开区间即可。【详解】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即当M与C重合时，最大，此时 所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所
9、以选B【点睛】本题考查了向量在三角形中的线性运算，特殊位置法的应用，属于难题。二、填空题（将答案填在答题纸上）13._【答案】【解析】【分析】根据正弦函数的和角公式即可求值。【详解】由正弦函数的和角公式逆运算可得【点睛】本题考查了正弦函数和角公式的简单应用，属于基础题。14.已知向量，则向量的单位向量为_，向量在方向上的正射影的数量为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据单位向量的定义及共线向量条件，即可求得向量的单位向量；根据向量投影的定义即可求得在方向上的正射影。【详解】设向量的单位向量为则向量与单位向量为共线，又所以 解得所以向量的单位向量为设向量与的夹角为，则则向量在向量
10、方向的投影为 代入可得【点睛】本题考查了单位向量的求法，向量投影的求法，属于基础题。15.已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：函数的图象不过原点；对任意，都有；对任意，都有.请写出一个符合上述条件的函数表达式为_（答案不唯一，写出一个即可）【答案】【解析】【分析】由可知函数为偶函数，由可知函数的周期为，结合不过原点，即可写出函数的一个解析式。【详解】由题意，根据可知函数为偶函数，由可知函数的周期为，再由函数不过原点，则满足的函数如【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性与周期性的综合应用，开放性问题的解决方案，属于基础题。16.给出以下四个结论：函数是偶函数；当时，函数的值域是；若扇形的周长为，
11、圆心角为，则该扇形的弧长为6 cm；已知定义域为的函数，当且仅当时，成立.则上述结论中正确的是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】【分析】利用特殊值代入中的解析式即可判断；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断；根据扇形的周长及圆心角即可求得半径，进而求得弧长，可判断；讨论的符号去绝对值，即可判断。【详解】当与时，代入中的解析式所得函数值不相等，所以错误；当时，由余弦函数图象可知的值域是，所以正确；因为若扇形的周长为，圆心角为，设半径为r，则，解得，所以弧长为 cm，所以错误；当时，当时，；当时，当时，所以正确。综上所述，正确。【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定
12、义域与值域的求法，属于难题。三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知，.（1）求；（2）求.【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义求得，根据模的运算即可求得。（2）根据向量数量积定义及公式求得，结合向量数量积即可求得；或根据向量和与差的几何意义，根据几何意义求得。【详解】（1）因为 即所以（2），所以，即.法二：因为，所以，所以与是以为邻边的菱形的对角线所表示的向量，又因为，所以，.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，向量的模长、夹角的应用，属于基础题。18.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）等式左右两
13、边同时乘以分母，化简后即可求得的值；（2）根据（1）中结论，利用二倍角公式即可求得的值，再由正切函数的差角公式即可求得的值。【详解】（1）由题已知：，所以.（2）由（1）知，所以.【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的化简求值，正切函数二倍角公式及正切差角公式的应用，属于基础题。19.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点.（1）求的值；（2）将点与原点距离保持不变，逆时针旋转角到点，求值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据终边过点P，可求得OP的值，结合三角函数定义即可求得，进而利用诱导公式求得的值；（2）根据题意可求得，结合同角三角函数关系式可求得，进而根
14、据余弦的差角公式及，即可求得的值。【详解】（1）因为的终边过，所以，由三角函数的定义，所以.（2）由题意知：，由可得.所以.【点睛】本题考查了三角函数的定义，余弦函数差角公式的应用，属于基础题。20.已知向量，函数，其图象的两条相邻对称轴间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到的图象，求在上的单调递增区间.【答案】（1）（2）增区间为，.【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期即可求得的值；（2）根据图象平移变化过程，可求得的解析式，根据正弦函数单调递增区间为，即可求得的取值范围，结合的范围为，即可求
