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1、 关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想唐跃志研究领域：统计学，数量经济学，微观经济学；：(027)62589359；E-mail：tangyz_；联系地址：武汉市华中科技大学经济学院；邮政编码：430074。华中科技大学经济学院，武汉，430074 摘要：本文讨论了“阿罗不可能定理”的逻辑问题。同时指出，如果将效用函数放在非欧空间里考察，则“投票悖论”可以解决。本文给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了这种可能性。以及如何利用模型，求“Edgeworth 盒”的契约曲线及无差异函数。关键词：效用函数，非欧空间，阿罗不可能定理，契约曲线，无差异函数，猜想模型引言1951年，阿罗(Arr
2、ow,K.J)发表并证明了著名的“不可能性定理”。阿罗用公理化方法和5个著名的公理证明了，经济学上的效用函数(utility function)是不存在的。这个定理给从那以后的经济学，带来了极大的困难 甚至产生了对市场机制的歪曲。比如认为，既然市场解决不了市场的问题，所以应该由政府“独裁”，由政府在市场之上搞宏观调控。再如在政治上搞“两党制”。许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功 Debreu等人证明了：定义在商品空间Rl 的非负卦限Rl+上的偏好关系，如果满足完全性、自反性、传递性、连续性和强单调性，则存在表达这个偏好关系的效用函数u: Rl Rl+。Debreu本人也因此获得诺贝尔经济学
3、奖。但是传递性会导致“投票悖论”；所以，我们认为：Debreu等人的结论，还不能从根本上否定“Arrow不可能定理”。我们总结了前人的经验。并注意到阿罗证明成立的关键，是以下二个原因：第一，是因为公理化方法有如下逻辑：如果“猜想”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。第二，是因为 “投票悖论”的问题。因为，“投票悖论”是由效用函数导出的。而“投票悖论”又与阿罗公理相矛盾。所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在 由于阿罗公理与“投票悖论”存在矛盾。许多人选择重新构造公理来论证效用函数的存在性。如Sen(1977,1979,1986,
4、1992,1996)，Gibbard(1973)、Satterthwaite(1975)等人从 “弱化”Arrow “完全理性” 假设的角度，来建立社会选择机制。他们的“弱化”方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；或者是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是这种“弱化”，并没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生新的“不可能性”问题。“投票悖论”公理化方法“传递性公理”“A优于B,B优于C,那么A必定优于C”效用函数不存在!图01 “Arrow不
5、可能定理”的内在逻辑关系由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是一个非常重要的因素。但“投票悖论”是怎样产生出来的呢？它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“A优于B,B优于C,那么一定A优于C”。因此， “传递性”，是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证明在“传递性假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实与一条欧氏定理“AB,BC,那么一定AC” 等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是一个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用的公理必须是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。但问题是，现实的效用体系是否就一定是欧氏几何形的
6、呢？或者说，选择的公理是否就是要求，“如果A优于B,B优于C，就一定必须有A优于C!”？如果换成非欧几何， “阿罗定理”在非欧条件“AB,BC,不一定AC”下还会成立吗？！基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。“不可能定理”在欧氏条件下成立，但在非欧条件却可能不成立！而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有一个基本猜测：现实的效用的分析几何，也许应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何！在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒了，“不可能性定理”并不是经济学的“有效”定理！而且我们还发现，“投票悖论”可以在非欧条件下得到印证。本文的第一部分，是
7、公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三部分，是我们对效用空间的一个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，是本文研究的一个延伸，即如何求“Edgeworth盒”上的契约曲线及无差异函数。 1，公理化方法与几何公理1.1，公理化方法所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。它是从一些初始概念（不定义的概念）和一些初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所需要的概念，推导出所需的命题（定理）来。这里的“推导”是一种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已由它们证明了的命题
8、，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。它是数学上构建严格数理体系的基本方法。该方法的逻辑特点是：如果“猜想命题”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。因此，“猜想”的正确与否，与公理的构成有很大关系。同一“猜想”，在不同的公理条件下，结论会有很大不同。数学上最基础的公理，是数的公理与形的公理。数的公理，有Peano数公理、代数公理；形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。任何公理，按笛卡尔(R.Descartes)的思想，都可化为数的公理和形的公理R.Descartes的思想，现在被归纳为关系映射反演原
9、则。其思想推动了坐标解析几何的产生与发展。联系数、形公理的桥梁，是坐标空间、相函数。由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的一切性质。比如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”。阿罗公理作为一个代数公理，应与形的公理同态同构。1.2，几何公理的构成本节的五组公理，其内容与D.Hibert原文表示略有不同，但所表达的事实基本一致。本文侧重于其点、线、面的公理表达。 按希尔伯特(D.Hilbert)的划分，几何公理的组成如下：几何公理结构几何公理欧氏几何罗氏几何黎氏几何公理关联公理关联公理关联公理公理顺序公理顺序公理分隔公理公理合同公理合同公理运动合同
10、公理公理欧氏公设罗氏公设黎氏公设公理连续公理连续公理连续公理欧氏几何和罗氏几何的区别，是第公设；而黎氏几何与欧氏、罗氏几何的区别，除了第公设外，还得加上一个在关联基础上的分隔公理。关于第公设，是众所周知的：欧氏第公设：又称平行公理。过直线L外一点A，至多可作一条直线与L不相交。它的等价描述是，内角和等于。罗氏第公设：过直线L外一点A，至少有两条直线与L共面而不相交。它是欧氏平行公理的矛盾命题。它的等价描述是，内角和小于。 黎氏第公设：过直线L外一点A的所有直线，都与L相交。它的等价描述是，内角和大于。对于其它公理，了解它们是必要的。关联公理 公理中的“点”应分别理解成“欧氏点，罗氏点，黎氏点”
11、，“线”为“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”亦为“欧氏面，罗氏面，黎氏面”。并且规定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圆作“黎氏直线”，“点”在大圆上，且球面上的对径点是一个点，则关联公理就是黎氏关联公理。所以黎氏意义下的直线是封闭的。：也叫结合(从属)公理。过A,B两点，有且至多有一直线L；直线上至少有二点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点A,B,C，必有且至多有一平面S；每一平面上至少有三点；如果直线的两点在平面S上，则该直线的每一点都在S上。SSBD图11 顺序公理与分隔公理黎氏分隔公理ACBACBCAACB欧氏/罗氏顺序公理顺序公理：也称次序公理。若C在A,B
12、之间，则A,B,C三点共线，且C在B,A之间；对于A,B两点，至少存在点C，使C在A,B之间；在共线三点中，至多有一点在其余两点之间。分隔公理 “直线”上每一点都在平面S内，都具有相同的“面序”；在“直线” 上诸点的 “面序”都相同的基础上，比较该“直线”上诸点的序关系，是平面上顺序公理与分隔公理成立的前提条件。：若A,B,C为直线上任意三点，存在D，A,B点分隔C,D；若A,B分隔C,D，则B,A分隔C,D，C,D分隔A,B；共线四点A,B,C,D，则A,B分隔C,D，A,C分隔B,D，A,D分隔B,C，三种关系恰有一种关系成立；若A,B分隔C,D，A,D分隔B,E，A,B则分隔C,E。合同
13、公理：也叫全合 (全等)公理。若A,B为L上的点，A是L上的点，则在L上A的一侧，恰有点B，使得AB=AB；若AB=AB, A”B”=AB，则AB=A”B”；若B在A,C之间，B在A,C之间，并且有AB=AB,BC=BC，则AC=AC。 运动合同公理：也叫等效公理。对两个几何体K、K，通过运动变换F，可以由K得到K，并且保持K、K共有的特征性质不变。图12 运动合同过程KKBA0FA0B由合同或者运动合同公理，可导出： 自反性：AB=BA；对称性：若AB=AB， 则AB=AB；传递性：若AB=AB,AB=A”B”，则AB=A”B”。 同样，由顺序/分隔公理，可定义出：反对称：AB=-BA； 非
14、对称：AB-BA。以上公理的逻辑关系是：没有关联公理、顺序/分隔公理，就没有合同公理，也就不存在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反/非对称的存在为前提。决定非自反、反/非对称的因素，是关联公理和顺序/分隔公理。在同一构造空间里，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系满足自反性、对称性、传递性的几何关系，是一种等价关系，满足非自反性、反/非对称性、传递性的几何关系，是一种弱/强序。序有点序、线序、面序之分。三种不同的公理，构造了三种不同的序。三种序关系，分别代表三种不同的几何。开放的序，代表欧氏或者罗氏几何 对于开放的点序，如果其线空间是平直的，则代表欧氏
15、几何；如果其线空间是弯曲的，则代表罗氏几何。；封闭的序，则代表黎氏几何 封闭的序关系，与圆拓扑同构。而圆的内禀几何就是黎氏几何。不同的几何，将导致不同的几何定理。比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称AB=-BA，于是如果CB,AC，则AB。而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称AB-BA或者反对称AB=-BA，如果是反对称AB=-BA，则CB,AC，一定有AB；如果是非对称AB-BA，则CB,AC，不一定是AB，而可能是BA。关于连续公理，则从略。1.3，数与形的统一考虑一个数序对(x, y)，并引入坐标系0;1,i；则这个数序对(x ,y)，可看成复平面上的一个点Z(x ,y)；这个点通过坐标关系，可构造一个数z = x1 + yi；则有点Z与数z的对应关系Z(x ,y) . z
