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1、山东省淄博市部分学校2019届高三数学阶段性诊断考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简复数，根据纯虚数的定义即可求出实数的值。详解】要使复数（是虚数单位）是纯虚数，则，解得：，故答案选A。【点睛】本题主要考查复数的化简以及纯虚数的定义，属于基础题。2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用一元二次不等式解出集合，利用补集的运算即可求出。【详解】由集合，解得：，故答案选C。【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集
2、合补集的运算，属于基础题。3.已知非零向量，若，则向量和夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用平面向量的数量积的运算律即可求解。【详解】设向量与向量的夹角为，由可得：，化简即可得到： ，故答案选B。【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，向量夹角余弦值的求法，属于基础题。4.如图，将半径为的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形（阴影部分）放在圆内，现在向圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】要求点落在星形区域内的概率，只要求出星形区域面积与圆面积比即可，其中空白部分的面积为【详解】如图所示， 所以
3、 故点落在星形区域内的概率为 故选D.【点睛】本题考查几何概型的面积型，解题的关键是求出空白区域的面积，属于一般题。5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.6.已知数列是等差数列，是它的前项和，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根
4、据等差数列的前项和公式化简，将代入求出公差的值，然后由首项和公差，利用等差数列的前项和公式求出即可。【详解】由得解得 所以故选B.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，属于基础题。7.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关， 初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为：有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天恰好到达目的地，请问第三天走了（ ）A. 里B. 里C. 里D. 里【答案】B【解析】【分析】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列，利用等比数列求和公式可得首项，由此可
5、得第三天走的步数。【详解】由题意可知此人每天走的步数构成公比为的等比数列， 由等比数列的求和公式可得：，解得：，故答案选B。【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，求出数列的首项是解决问题的关键，属于基础题。8.函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。【详解】当时，故排除D；由于函数的定义域为，且在上连续，故排除B；由，由于 ， ，所以，故排除C;故答案为A。【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题。9.椭圆与双曲线的离心率之积为，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式，可得关于a，b的方程，再由双曲线的渐近线方程，即可得到结论【详解】椭圆中：a2，b1，所以，c，离心率为，设双曲线的离心率为e则，得，双曲线中，即，又，所以，得，双曲线的渐近线为：，所以两条渐近线的倾率为倾斜角分别为，.故选C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查离心率和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于易错题10.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，即可得出结论【详解】解：第1步：S2，x4，
7、m2；第2步：S8，x6，m；第3步：S48，x8，m，退出循环，故选B【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.11.若在上是减函数，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据辅助角公式，化简函数的解析式，再根据余弦函数单调减区间求得单调减区间，进而求得
8、的最大值。【详解】，由辅助角公式可得： 令，解得：，则函数的单调减区间为，又在上是减函数，则，当时，函数的单调减区间为， ，解得：，故答案选D。【点睛】本题主要考查辅助角公式的用法，余弦函数的单调区间的求法，属于中档题12.已知是关于的方程的两个不等实根，则经过两点的直线与椭圆公共点的个数是（ ）A. B. C. D. 不确定【答案】A【解析】【分析】先用斜率公式求出直线的斜率，再根据点斜式方程得到直线的方程，利用一元二次方程根与系数的关系，化简直线方程，可以判断出直线过定点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。【详解】因为是关于的方程的两个不等实根所以，且，直线的斜率 直线
9、的方程为 即整理得故直线恒过点，而该点在椭圆内部，所以直线和椭圆相交，即公共点有2个。故选A.【点睛】本题考查直线过定点问题以及直线和椭圆位置关系，解题的关键是求出直线恒过定点，属于偏难题目。二、填空题。13.某高中学校三个年级共有团干部名，采用分层抽样的方法从中抽取人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了人，则高一年级团干部的人数为_【答案】【解析】【分析】利用分层抽样的定义即可得到结论。【详解】 某高中学校三个年级共有团干部名，采用分层抽样的方法从中抽取人进行睡眠时间调查.其中从高一年级抽取了人，高一年级团干部的人数为：，故答案为24。【点睛】本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题14.已
10、知，且，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】画出约束条件所表示的可行域，结合图像确定目标函数的最优解，代入即可求解。【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图（阴影部分）所示：令目标函数，在图像是画出时直线，从图像上可得在点时，目标函数取最小值，又 ，解得，故答案为-4。【点睛】本题考查简单线性规划求最值问题，画出不等式组表示的可行域，利用：一画、二移、三求，确定目标函数的最优解，着重考查数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15.已知函数定义域为，满足，当时，则_【答案】【解析】【分析】由题可得函数为周期函数，根据函数周期的性质以及分段函数的解析式，即可求解。【详解】函数定义域为，满足，
11、则为周期函数， 由，可得：，故答案为。【点睛】本题主要考查周期函数以及分段函数的函数值的计算，着重考查运算与求解能力，属于基础题。16.如图，在圆内接四边形中，是外接圆直径，若点为边上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】在圆内接四边形中，是外接圆直径，则，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，从而得出直线方程，据此写出点的坐标，设点的坐标为，则 ，所以， ，由此表示出，从而得到答案。【详解】因为在圆内接四边形中，是外接圆直径，所以 ，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示因为，所以，直线的斜率为所以 因为，所以直线的斜率为 直线的方程为令，解得，所以 设点的坐标为，则 所以，
12、 所以，又因为，所以当时，的最小值为 .【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，掌握数量积的定义是关键，属于一般题。三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在中，角所对的边分别为，已知向量，且.（1）求角的大小；（2）若的面积是，且，求.【答案】(1) (2) 或【解析】分析】（1）由两向量的坐标以及平面向量的数量积运算列出关系式，再结合辅助角公式，即可求角的大小。（2）结合题意由三角形的面积计算公式与余弦定理计算出.【详解】解：（1）由已知，所以，因为，所以，即.（2）由（1）知，得 又，所以，由余弦定理，得 由得或.【点睛】本题考查平面向量的数量积与解三角形问题，属于
13、简单题。18.已知六面体如图所示，平面， ，分别是棱上的点，且满足.（1）若与的交点为，求证：平面；（2）求证：平面平面；【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）由形似三角形证明，又因为平面，则可证得平面.（2）由题可先证得平面 ，平面，因为，所以平面平面.【详解】解：（1）因为，所以与相似又，所以，因为，在中，所以，又因为平面，所以平面.（2）因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，且，所以.连接，在中，因为，所以，且，所以，因为，所以平面平面.【点睛】本题考查立体几何的证明，证明线面垂直需证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或者直线与平面的一条垂线平行；证明面面平行需
14、证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行。19.已知抛物线的焦点到准线距离为.（1）若点，且点在抛物线上，求的最小值；（2）若过点的直线与圆相切，且与抛物线有两个不同交点，求的面积.【答案】(1)2(2) 【解析】【分析】（1）由抛物线图像的几何特征可知，设点到抛物线准线的距离分别为，因为点在抛物线上，所以到准线距离与到焦点距离相等，故仅当垂直于准线时有最小值.（2）应用设而不求法，设直线的方程为：，将与联立，结合韦达定理与弦长公式以及点到直线的距离公式求出三角形面积.【详解】解：（1）根据题意可知所以抛物线方程为则抛物线焦点为，准线为；记点到抛物线准线的距离分别为，故，等号成立当且仅当PE垂直于准线，故的最小值为（2）设 ，由题意知，直线斜率存在，设直线的方程为：将与联立得，由韦达定理得，由到直线的距离为得：，又点到直线的距离为所以
