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1、1 求导数中参数范围的常用方法与技巧求导数中参数范围的常用方法与技巧 一 利用判别式一 利用判别式 1 函数函数 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 既有极大值又有极小值 既有极大值又有极小值 则则 a 的取值范围是的取值范围是 2 若若 f x x3 3ax2 3 a 2 x 1 在在 R 上上单调递增 单调递增 则则 a 的取值范围是的取值范围是 二 利用子集思想二 利用子集思想 1 已知函数已知函数 f x ax3 bx2 x R 的图象过点的图象过点 P 1 2 且在点且在点 P 处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线 x 3y 0 垂直 垂直 1 求函数求函数 f x 的解析式
2、 的解析式 2 若函数若函数 f x 在区间在区间 m m 1 上单调递增 求实数上单调递增 求实数 m 的取值范围 的取值范围 解解 1 y f x 过点过点 P 1 2 且在点且在点 P 处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线 x 3y 0 垂直 垂直 a b 2 3a 2b 3 a 1 b 3 f x x3 3x2 2 2 设函数设函数 f x f x 2x2x 3 3 3 a3 a 1 x1 x 2 2 6ax6ax 8 8 其中 其中 a a R R 若若 f x f x 在区间在区间 0 0 上为增函数 上为增函数 求求 a 的取值范围 的取值范围 3 若函数若函数 2 1 ln1
3、2 f xxx 在其定义域内的一个子区间在其定义域内的一个子区间 1 1kk 内内 不是不是单调函数 单调函数 则实数则实数k的取值范围的取值范围 三三 利用 利用一元二次方程一元二次方程根的分布根的分布 1 1 已知函数 已知函数 f x ln x xf x ln x x 2 2 ax ax 若若 f x f x 既有极大值又有极小值既有极大值又有极小值 求实数求实数 a a 的取值范围的取值范围 2 解解 由题意知由题意知 f f x x 1 x 2x a 2x a 2 21xax x 在在 0 0 上恰有两个互不相等的零点上恰有两个互不相等的零点 2 设函数设函数 1ln 2 xbxxf
4、 其中 其中0 b 如果如果 f x在定义域内在定义域内既有极大值又有极小值既有极大值又有极小值 求实数 求实数b的取值范围 的取值范围 解 解 由题意知 由题意知 f f x x 的定义域为 的定义域为 1 1 由题意由题意0 1 22 1 2 2 x bxx x b xxf 四四 分离参数法 分离参数法 例例 5 5 设函数设函数 2ln p fxpxx x 其中其中e是自然对数的底数是自然对数的底数 若若 fx在其定义域内为单调函数在其定义域内为单调函数 求实数求实数p的取值范围的取值范围 练习练习 1 已知函数已知函数 1 ln ex f xax a R 当 当 1 e a 时 求曲线
5、时 求曲线 yf x 在在 1 1 f处的切线方程 处的切线方程 若函数 若函数 f x在在定义域内定义域内不单调不单调 求 求a的取值范围的取值范围 解 解 函数函数 f x的定义域为的定义域为 0 导函数导函数 1e ee x xx aax fx xx 3 例例 7 已知函数已知函数 f x x2 2aln x 1 求函数求函数 f x 的单调区间 的单调区间 2 若函数若函数 g x 2 x f x 在在 1 2 上是减函数 求实数上是减函数 求实数 a 的取值范围 的取值范围 例例 9 已知函数已知函数 f x x 1 x 1 g x x2 2ax 4 若 若任意任意 x1 0 1 存
6、在存在 x2 1 2 使 使 f x1 g x2 则实数 则实数 a 的取值范围是的取值范围是 例例 1010 已知函数已知函数 f x lnx g x 2 1 2 x 2x 设 设 k Z 当当 x 1 时 不等式时 不等式 k x 1 xf x 3 g x 4 恒成立 求恒成立 求 k 的最大值 的最大值 解 不等式解 不等式 1 3 4k xxf xg x 化化为为 ln 2 1 xxx k x 所以所以 ln 2 1 xxx k x 对任意对任意1x 恒成立 恒成立 令令 ln 2 1 xxx g x x 则 则 2 ln2 1 xx gx x 4 五 五 转化为求最值转化为求最值 1
7、 1 已知函数已知函数 2 1 ln1 2 f xaxxa x 1 1 求函数 求函数 f x的单调区间 的单调区间 2 2 若 若 0f x 对定义域内的任意对定义域内的任意x恒成立 求实数恒成立 求实数a的取值范围 的取值范围 2 已知函数已知函数 22 ln f xxaxax a R 2 若若 0f x 恒成立 求实数恒成立 求实数a的的取值范围取值范围 3 已已知函数知函数 32 1 2 32 a f xxxx aR 若过点 若过点 1 0 3 可作函数可作函数 yf x 图象的三条不同切线 求实数图象的三条不同切线 求实数a的取值范围的取值范围 5 4 4 已知函数已知函数mxexf
8、 x 2 其中其中0 m 当 当1 m时 求曲线时 求曲线 xfy 在点在点 0 0 f处的切线方程 处的切线方程 若不等式 若不等式0 xf在定义域内恒成立 求实数在定义域内恒成立 求实数m的取值范围的取值范围 5 5 设函数设函数 lnf xx kx k为为常数常数 xf xx xg 11 曲线 曲线 xfy 在点在点 1 1 f处处 的切线与的切线与x轴平行轴平行 求求k的值 的值 求求 g x的单调区间和最小值 的单调区间和最小值 若若 a xgag 1 对任意对任意0 x恒成立 求实数恒成立 求实数a的取值范围的取值范围 六 六 利用题目己知信息分类讨论利用题目己知信息分类讨论 例例
9、 1 1 已知函数已知函数 2 24 1 ln 1 f xxaxax 其中实数 其中实数3a 若若 0f x 在区间在区间 0 1上恒成立 求上恒成立 求a的取值范围 的取值范围 6 练习练习 1 1 2012018 8 年高考年高考数学 文 北京卷 数学 文 北京卷 设函数设函数 2 31 32 exf xaxaxa 若曲线 若曲线 yf x 在点在点 2 2 f处的处的切线斜率为切线斜率为 0 0 求 求 a a 若 若 f x在在1x 处取得极小值 求处取得极小值 求 a a 的取值范围的取值范围 练习练习2 2 2012018 8年高考年高考数学 理 北数学 理 北京卷 京卷 设函数设
10、函数 f x 2 41 43axaxa ex 若曲线若曲线y fy f x x 在点在点 1 1 1 f 处的切线处的切线与与x轴平行轴平行 求求a a 若 若 f x在 在x x 2 2处取得处取得极小极小值 求值 求a a的取值范围的取值范围 7 例例 2 2 已知函数 已知函数 1nf xx 若 若11nxax 对任意对任意1x 恒成立 求实数恒成立 求实数a的最大值 的最大值 例例 3 2015 北京高考北京高考 已知函数已知函数 f x ln1 x 1 x 1 求曲线求曲线 y f x 在点在点 0 f 0 处的切线方程 处的切线方程 2 求证 当求证 当 x 0 1 时 时 f x
11、 2 x x 3 3 3 设实数设实数 k 使得使得 f x k x x 3 3 对对 x 0 1 恒成立 求恒成立 求 k 的最大值 的最大值 解解 1 因为因为 f x ln 1 x ln 1 x 所以所以 f x 1 1 x 1 1 x f 0 2 又因为又因为 f 0 0 所以曲线 所以曲线 y f x 在点在点 0 f 0 处的切线处的切线方程为方程为 y 2x 2 证明 令证明 令 g x f x 2 x x 3 3 则 则 g x f x 2 1 x2 2x4 1 x2 因为因为 g x 0 0 xg 0 0 x 0 1 即当即当 x 0 1 时 时 f x 2 x x 3 3
12、3 3 已知已知 2 1 ln 1 2 f xaxxx 其中 其中0 a 求求 f x的单调区间 的单调区间 若若 f x在在 0 上的最大值是上的最大值是0 求 求a的取值范围 的取值范围 8 4 4 设函数 设函数Raxaxxxf ln 42 2 若对任意若对任意0 1 2 axxfx恒成立 求实数恒成立 求实数a的取值范围的取值范围 5 5 已知函数已知函数 1 lnf xx x 若在若在 e1上至少存在一个上至少存在一个 0 x 使得 使得 0 00 2 x e xfkx 成立 求实数成立 求实数k的取的取值范围值范围 7 7 设设 f x xln x ax2 2a 1 x a R 1
13、 令令 g x f x 求求 g x 的单调区间 的单调区间 2 已知已知 f x 在在 x 1 处取得极大值处取得极大值 求正实数求正实数 a 的取值范围 的取值范围 222 24 ln 1 g xf xxaxaxxxax 9 8 设L为曲线 exC y 在点 0 1 处的切线 设 eln 1 x h xaxx 其中a R 若 1h x 对 0 x 恒成立 求a的取值范围 9 设设kR 函数函数 lnf xxkx 若 若 f x无零点无零点 求实数求实数k的取值范围的取值范围 10 已知函数已知函数1ln x b xaxf 曲线 曲线 yf x 在点在点 2 1 处切线平行于处切线平行于x轴
14、轴 当当1x 时 不等式时 不等式xkxxfxln 1 恒成立 求实恒成立 求实数数k的取值范围的取值范围 10 1010 2015 新课标全国新课标全国 已知已知 f x lnx a 1 x 1 讨论讨论 f x 的单调性 的单调性 2 当当 f x 有最大值有最大值 且最大值大于 且最大值大于 2a 2 时时 求求 a 的取值范围 的取值范围 11 先通过缩小参数范围 再分类讨先通过缩小参数范围 再分类讨论 论 已知函数已知函数 f x 1 3x 3 1 2 a 2 x2 x a R 设函数设函数 g x e e x x e 为自然对数的底数 为自然对数的底数 若对于若对于 x 0 f x
15、 g x 恒成立恒成立 求实数求实数 a 的取值范围 的取值范围 练习练习 3 先通过 先通过特值压缩 特值压缩 通过缩小参数范围 再分类讨论 通过缩小参数范围 再分类讨论 当2x 时 2 2 1 420 x f xkexxx 恒成立 求k的取值范围 分析 特值法先压缩参数范围 可以大大减少讨论步骤 但是这是一个特殊方法 不被重视 11 1212 已知函数已知函数 e ln1 x f xaxa R 求 求函数函数 yf x 在点在点 1 1 f处的切线方程处的切线方程 若若函数函数 yf x 在在 1 1 2 上上有极值 求有极值 求a的取值范围的取值范围 七 利用一个变量范围限定另一变量范七 利用一个变量范围限定另一变量范围围 例例 1 1 设设aR 若函数 若函数 3 ax f xex xR 有大于零的极值点 则 有大于零的极值点 则 A A 1 3 a B B 1 3 a C C 3a D D 3a
