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1、抛物线练习1、已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且，过点向直线作垂线，垂足分别为，的面积分别为记为与，那么（ ）A. B. C. D.2、已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=（1）求椭圆E的方程；（2）经过A、B两点分别作抛物线C的切线l1、l2，切线l1与l2相交于点M证明：ABMF；（3）椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积；若不存在，试说明理由3、已知点P是圆F1
2、：（x+1）2+y2=16上任意一点（F1是圆心），点F2与点F1关于原点对称线段PF2的中垂线m分别与PF1、PF2交于M、N两点（I）求点M的轨迹C的方程；（）直线l经过F2，与抛物线y2=4x交于A1，A2两点，与C交于B1，B2两点当以B1B2为直径的圆经过F1时，求|A1A2|4、已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（）求的方程；（）若直线，且和有且只有一个公共点，（）证明直线过定点，并求出定点坐标；（）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.5、已知抛物线与双曲线有相同的焦
3、点，是坐标原点，点、是两曲线的交点，若，则双曲线的实轴长为 .6、已知抛物线，圆 （1）在抛物线上取点，的圆周上取一点，求的最小值； （2）设为抛物线上的动点，过作圆的两条切线，交抛物线于、点，求中点的横坐标的取值范围 7、已知点P为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点F（1，0）为定点，且满足（I）求动点N的轨迹E的方程；（II）过点F且斜率为k的直线，与曲线E交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点C，使得成立，请说明理由，8、已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点F，线段PQ为抛物线C的一条弦（1）若弦PQ过焦点F，求证：为定值；（2）求证：x轴的正半轴上存在定点M，对过点M的任意弦P
4、Q，都有为定值；（3）对于（2）中的点M及弦PQ，设，点N在x轴的负半轴上，且满足，求N点坐标9、如图，已知抛物线C：y2=2px和M：（x4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x0，y0）（y01）作两条直线与M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为（）求抛物线C的方程；（）当AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；（）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值10、如图，已知抛物线，焦点为，过点作直线交抛物线于两点，设（I）若，求抛物线的方程；（II）若直线与轴不垂直，直线交抛物线于另一点,直线交抛物线于另一点.求证：直线与直线斜率之比为定值.11、已
5、知抛物线C：y=-x2+4x-3 .（1）求抛物线C在点A（0，3）和点B(3，0)处的切线的交点坐标；（2）求抛物线C与它在点A和点B处的切线所围成的图形的面积.12、如图，已知抛物线的焦点在抛物线上（）求抛物线的方程及其准线方程；（）过抛物线上的动点作抛物线的两条切线、， 切点为、若、的斜率乘积为，且，求的取值范围13、已知椭圆C的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y=x2的焦点，离心率为。（）求椭圆C的方程；（）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于点M，若=1，=，求证：1+为定值14、用细钢管焊接而成的花坛围栏构件如右图所示，它的外框是一个等腰梯形，内部是一段抛物
6、线和一根横梁抛物线的顶点与梯形上底中点是焊接点，梯形的腰紧靠在抛物线上，两条腰的中点是梯形的腰、抛物线以及横梁的焊接点，抛物线与梯形下底的两个焊接点为已知梯形的高是厘米，两点间的距离为厘米（1）求横梁的长度;（2）求梯形外框的用料长度（注:细钢管的粗细等因素忽略不计，计算结果精确到1厘米）15、如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A（）求实数b的值；（）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程16、已知点E(m,0)为抛物线内的一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交抛物线于点A、B、C、D，且M、N分别是AB、CD的中点（1）若m = 1，k1k2 = -1
7、，求三角形EMN面积的最小值；（2） 若k1 + k2 = 1，求证：直线MN过定点.17、已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点 (1)证明：抛物线在点处的切线与平行；(2)是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由18、如图，抛物线：与椭圆：在第一象限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为.（）求抛物线的方程；（）过点作直线交于、 两点，射线、分别交于、两点，记和的面积分别为和，问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由19、如图，抛物线：与坐标轴的交点分别为、.求以、为焦点且过点的椭圆方程；经过坐标原点的直线与抛物线相交于、两
8、点，若，求直线的方程20、已知抛物C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为.（I）求抛物线C的标准方程；（II）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由. 答 案1、C2、解：（1）设椭圆E的方程为，半焦距为c由已知条件，F（0，1），b=1，=，a2=b2+c2，解得a=2，b=1所以椭E的方程为（2）显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1）B（x2，y2）
9、（x1x2）与抛物线方程联立，消去y，并整理得，x24kx4=0x1x2=4抛物线的方程为y=x2，求导得y=x，过抛物线上A，B两点的切线方程分别是yy1=x1（xx1），yy2=x2（xx2）即y=x1x，y=x2xx22解得两条切线的交点M的坐标为（，1）=0ABMF（3）假设存在点M满足题意，由（2）知点M必在直线y=1上，又直线y=1与椭圆有唯一交点，故M的坐标为（01），设过点M且与抛物线C相切的切线方程为yy0=x0（xx0）：，其中点（x0，y0）为切点令x=0，y=1得，1x02=x0（0x0），解得x0=2或x0=2，故不妨取A（2，1）B（2，1），即直线AB过点F综上所
10、述，椭圆E上存在一点M（0，1），经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB（A、B为切点），能使直线AB过点F此时，两切线的方程分别为y=x1和y=x1抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积为=3、（I）先确定F1、F2的坐标，再根据线段PF2的中垂线与与PF1、PF2交于M点，结合椭圆的定义，可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，从而可得点M的轨迹C的方程；（）当直线l与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，），不满足条件，当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为：y=k（x1），由，得（3+4k2）x28k2x+4k212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、圆的性质、弦长公式能求出|A1
11、A2|解：（I）由题意得，F1（1，0），F2（1，0），圆F1的半径为4，且|MF2|=|MP|，从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4|F1F2|，（2分）点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，（4分）其中长轴2a=4，得到a=2，焦距2c=2，则短半轴b=，椭圆方程为： （5分）（）当直线l 与x轴垂直时，B1（1，），B2（1，），又F1（1，0），此时，所以以B1B2为直径的圆不经过F1不满足条件（6分）当直线l 不与x轴垂直时，设L：y=k（x1）由即（3+4k2）x28k2x+4k212=0，因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点设B1（x1，y1），B2
12、（x2，y2），则：x1+x2=，x1x2=，因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以，又F1（1，0）所以（1x1）（1x2）+y1y2=0，即（1+k2）x1x2+（1k2）（x1+x2）+1+k2=0所以解得k2=，（8分）由得k2x2（2k2+4）x+k2=0因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k0，设A1（x3，y3），A2（x4，y4），则：x3+x4=2+，x3x4=1所以|A1A2|=x3+x4+p=2+2=（12分）4、解析：（I）由题意知，设，则FD的中点为，因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去）.由，解得. 所以抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，因为，则，由得
13、，故， 故直线AB的斜率为， 因为直线和直线AB平行， 设直线的方程为，代入抛物线方程得， 由题意，得.设，则，.当时，可得直线AE的方程为，由，整理可得，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点，所以直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为， 因为点在直线AE上，故，设，直线AB的方程为，由于，可得，代入抛物线方程得，所以，可求得，所以点B到直线AE的距离为.则的面积，当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16.【思路点拨】（I）设，因为 ，则FD的中点为，由为正三角形求得p=2，所以抛物线C的方程为.（II）（）由（I）知，设，得， 故直线AB的斜率
14、为，设直线的方程为，代入抛物线方程，由得.从而得切点. 当时，可得直线AE的方程为，由，得直线AE的方程，直线AE恒过点.当时，直线AE的方程为，过点. 所以直线AE过定点.（）由（）知，直线AE过焦点，所以，设直线AE的方程为，故，因为直线AB的方程为，即：，代入抛物线方程得，设，则 ，可求得，所以点B到直线AE的距离为：d.则的面积，当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16.5、解析：抛物线与双曲线有相同的焦点，点的坐标为（1，0），轴.设点在第一象限，则点坐标为（1，2）设左焦点为，则=2,由勾股定理得，由双曲线的定义可知.6、解析：（1）设，则， 则 ，当且仅当是取等号3分 的最小值为的最小值减，为5分 （2） 由题设知，切线与轴不垂直， ，设切线 设，中点，则 将与的方程联立消得 即得（舍）或 设二切线的斜率为，则， 8分 又到的距离为1，有， 两边平方得 9分 则是的二根，则10分 则 11分
