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1、课时作业(七十四)数学归纳法及其应用一、选择题1用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2答案：D解析：当nk时，左端123k2，当nk1时，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k1)2.故应选D.2(2015岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1(nN*)成立，其初始值至少应取()A7B8C9D10答案：B解析：1整理得2n128，解得n7，所以初始值至少应取8.3用数学归纳法证明：“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)”，从“k到k1”左端
2、需增乘的代数式为()A2k1B2(2k1)C.D答案：B解析：nk1时，左端为(k2)(k3)(k1)(k1)(k1)k(k1)(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)(k1)(k2)(kk)2(2k1)，应乘2(2k1)，故应选B.4对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法证明的过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立，则上述证法()A过程全部正确Bn1验得不正确C归纳假设不正确D从nk到nk1的推理不正确答案：D解析：在nk1时，没有应用nk时的假设，不是数学归纳法，故应选D
3、.5(2015上海模拟)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()An1B2nC.Dn2n1答案：C解析：1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4(个)区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7(个)区域；n条直线最多可将平面分成1(123n)1(个)区域故应选C.6(2015南宁模拟)已知f(n)(2n7)3n9，存在自然数m，使得对任意nN*，f(n)都能被m整除，则m的最大值为()A18B36C48D54答案：B解析：由于f(1)36，f(2)108，f(3)360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值为36.当
4、n1时，可知猜想成立假设当nk(k1，kN*)时，猜想成立，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，f(k1)(2k9)3k19(2k7)3k936(k5)3k2，因此f(k1)也能被36整除，故所求m的最大值为36.二、填空题7用数学归纳法证明“2n1n2n2(nN*)”时，第一步验证为_答案：当n1时，左边4右边，不等式成立解析：由nN*可知初始值为1.8(2015徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设nk(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真答案：k2解析：n为正奇数，假设nk成立后，需证明的应为nk2时成立9若f(n)122
5、233(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_答案：f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2解析：f(k)1222(2k)2，f(k1)1222(2k)2(2k1)2(2k2)2；f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.10用数学归纳法证明(k1)，则当nk1时，左端应乘上_，这个乘上去的代数式共有因式的个数是_答案：2k1解析：因为分母的公差为2，所以乘上去的第一个因式是，最后一个是，根据等差数列通项公式可求得共有12k2k12k1项三、解答题11(2015绵阳一模)已知数列xn满足x1，xn1，nN*.猜想数列x2n的单调性，并证明你的结论解：由x1及xn1，得x2，x4，
6、x6，由x2x4x6猜想：数列x2n是递减数列下面用数学归纳法证明：当n1时，已证命题成立假设当nk时命题成立，即x2kx2k2，易知xk0，当nk1时，x2k2x2k40，即x2(k1)x2(k1)2.也就是说，当nk1时命题也成立结合和知命题成立12(2015长沙模拟)设数列an满足a13，an1a2nan2(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列an的通项公式(不需证明)；(2)记Sn为数列an的前n项和，试求使得Sn2n成立的最小正整数n，并给出证明解：(1)a2a2a125，a3a22a227，a4a23a329.猜想an2n1(nN*)(2)Snn22n(nN*)，使得Sn2n成立的最小正整数n6.下证：当n6(nN*)时都有2nn22n.当n6时，2664,622648,6448，命题成立假设nk(k6，kN*)时，2kk22k成立，那么当nk1时，2k122k2(k22k)k22kk22kk22k32k(k1)22(k1)，即nk1时，不等式成立；由可得，对于所有的n6(nN*)都有2nn22n成立4
