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1、课时作业(十五)导数在研究函数中的应用(二)一、选择题1若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A(2,2)B2,2C(，2)(2，)D(，22，)答案：A解析：y3(1x)(1x)，由y0，得x1，y极大值2，y极小值2，2m2.故应选A.2(2015北京模拟)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)xf(x)0的解集为()A(4,0)(4，)B(4,0)(0,4)C(，4)(4，)D(，4)(0,4)答案：D解析：设g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)xf(x)xf(x)xf(x)f(x)0化为g(x)0，设x0，故不等式为g(x)g(4)，即0x
2、4；设xg(4)，即xlog0.5对任意x2,4恒成立，则m的取值范围为_答案：(45，)解析：以0.5为底的对数函数为减函数，所以得真数关系为x37x2x7，令f(x)x37x2x7，则f(x)3x214x1，因为f(2)0且f(4)0，所以f(x)0在2,4上恒成立，即在2,4上函数f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(4)45，因此m45.三、解答题10已知定义在区间2，t(t2)上的函数f(x)(x23x3)ex.(1)当t1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)设mf(2)，nf(t)，试证明m n.解：(1)f(x)(2x3)exex(x23x3)exx(x1)由于t1，故当
3、x(2,0)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减；当x(1，t)时，f(x)0，f(x)单调递增综上，函数yf(x)的单调递增区间为(2,0)，(1，t)；单调递减区间为(0,1)(2)证明：mf(2)13e2，nf(t)(t23t3)et，设h(t)nm(t23t3)et13e2，h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(t1)(t2)h(t)与h(t)随t的变化情况如下表：t(2,0)0(0,1)1(1，)h(t)00h(t)极大值极小值由上表可知，h(t)的极小值为h(1)e0，又h(2)0，所以当t2时，h(t)h(2)0，即h(t)0
4、，因此nm0，即mn.11(2015成都模拟)成都市“”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0)现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值解：(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y(0x36)(2)a1，y，yk，
5、令y0，得x，当x时，函数单调递减；当x时，函数单调递增当x时，函数取得最小值又此时x6，解得b25，经验证符合题意12(2015大连模拟)已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa)由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a)(2)由(1)知，f(x)在区间(2，1)内单凋递增，在区间(1,0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0a.所以a的取值范围是.6
