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1、河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题 理注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分150分，考试用时120分钟。1、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，则的子集个数为A.2B.4C.8D.16答案：B2. 复数在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C
2、.第三象限 D.第四象限答案：D3. 郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A.月接待游客逐月增加B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案：A4. 定义在R上的函数为偶函數，则A.B. C.D.答案：C5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其
3、包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.B.C.D.答案：B6. 已知向量与夹角为，且，则A.B.C.D.答案：C7. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的，分别为3，1，则输出的等于.5B.4C.3D.2答案：B8. 函数的图象大致是答案：C9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种A.60B.
4、90C.120D.150答案：D10. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则=A.B.C.D.答案：B11. 已知三棱锥内接于球O，平面ABC，为等边三角形，且边长为，球的表面积为，则直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为A.B.C.D.答案：D12. ,，若有9个零点，则的取值范围是A.B.C.D.答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线在点处的切线方程为_.答案：14. 若是等差数列的前项和，若，则_.答案：15. 已知双曲线的右顶点为A，以A为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C的一条渐近线相交于M，N两点，若（为坐标原点），则
5、双曲线C的离心率为_.答案：16. 已知数列满足：对任意均有（p为常数，且），若，则的所有可能取值的集合是_.答案：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. （12分）已知ABC外接圆半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，设.（1）求角B；（）若b=12，c=8，求sinA的值【解析】(I)即： 3分因为所以6分(II)若，由正弦定理，, ,由，故为锐角，9分12分18. （12分）已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=
6、2，O为AC的中点，点N在校BC上，且.（1）证明：BO平面AMC；（2）求二面角N-AM-C的正弦值.【解析】（I）如图所示：连接，在中：，则，.2分在中：，为的中点，则，且 4分在中：，满足：根据勾股定理逆定理得到 相交于 ，故平面.6分（）因为两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示因为,则8分由所以，设平面的法向量为，则令，得10分因为平面，所以为平面的法向量，所以与所成角的余弦为所以二面角的正弦值为.12分19. （12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆E的方程；（2）若过点的任意直线与椭圆E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，求证，恒有.【解析】（I）由题意知，.
7、1分又因为解得，. 3分所以椭圆方程为. 4分（） 设过点直线为，设，由得，且.则 又因为， ，10分所以.因为线段的中点为，所以.12分20. （12）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水（A级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p（0p1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必
8、不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验.化验次数的期望值越小，则方案越优.（1）若，求2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；（2）若，现有4个A级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优？若“方案三”比“方案四更“优”，求p的取值范围.【解析】(I)该混合样本达标的概率是，2分所以根据对立事件原理，不达标的概率为.4分(II)（i）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两
9、个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为；若不达标则检测次数为3，概率为.故方案二的检测次数记为2，2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，可求得方案二的期望为方案四：混在一起检测，记检测次数为4，4可取1,5.其分布列如下，可求得方案四的期望为.比较可得，故选择方案四最“优”9分(ii)方案三：设化验次数为，可取2,5.；方案四：设化验次数为，可取；由题意得.故当时，方案三比方案四更“优”12分21. （12分）已知函数.（1）求的最大值；（2）若恒成立，求实数b的取值范围.【解析】(I)，定义域，由，在增，在减，4分(II) 6分令，令，在单调递增，在存在零点，即9分由于在单调递增，故即
10、在减，在增，所以.12分（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E经过点P，其参数方程（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E的极坐标方程；（2）若直线交E于点A，B，且OAOB，求证：为定值，并求出这个定值.【解析】(I)将点代入曲线E的方程，得解得，2分所以曲线的普通方程为,极坐标方程为.5分()不妨设点的极坐标分别为则即8分,即10分23. 选修4-5不等式选讲（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得，求m的取值范围.【解析】(I)由，得，不等式两边同时平方，得，3分即，解得.所以不等式的解集为5分()设g(x)|x1|2x1|8分因为，又恰好存在4个不同的整数n，使得，所以故的取值范围为. 10分- 13 -
