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1、江苏省邗江中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.已知复数（为虚数单位），则=_【答案】5【解析】【分析】直接利用复数的模的公式求解.【详解】因为复数，所以.故答案为：5【点睛】（1）本题主要考查复数的模的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 复数的模.2.已知集合 ，则_【答案】【解析】【分析】求解出集合，根据交集定义求得结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.3.观察下列不等式：；则第个不等式为_【答案】【解析】试题分析：不等式的规律是：，则第个不等式为考点：归纳推理点
2、评：归纳推理，关键在于观察事实，寻求规律，然后得到结论。对此类题目，只要用心思考，都能做得很好。4.已知，用数学归纳法证明时，_【答案】【解析】试题分析：因为假设时，当时，所以 考点：数学归纳法【方法点晴】本题主要考查了数学归纳法，由归纳法的性质，我们由对成立，则它对也成立，由此类推，对于的任意整数均成立，其中熟记数学归纳法的步骤和推理结构是解答此类问题的关键，本题的解答中根据数学归纳法的思想，得出当和时，分别写出和的表达式，即可作差求解的表示形式，属于基础题5.已知，是矩阵的属于特征值的一个特征向量，则矩阵的另一个特征值为_【答案】-3【解析】【分析】由求得，则可得矩阵的特征多项式为，令求得
3、结果.【详解】由题意得：，即可得：，解得： 特征多项式为则 或另一个特征值为：本题正确结果：【点睛】本题考查矩阵的特征向量问题，属于基础题.6.设随机变量，且，则事件“”的概率为_（用数字作答）【答案】【解析】【分析】根据二项分布求得，再利用二项分布概率公式求得结果.【详解】由可知：本题正确结果：【点睛】本题考查二项分布中方差公式、概率公式的应用，属于基础题.7.已知命题，命题，若命题且是真命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：是真命题，则为真命题，为真命题，命题为真命题，则，命题 为真命题，则，所以考点：1、命题的真假性；2、一元二次不等式恒成立【方法点睛】本题主要考察存在性问
4、题，一元二次不等式恒成立问题，存在性问题等价于或，对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1），（2），一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式8.已知，设，则_【答案】1023【解析】【分析】根据组合数公式性质可得；分别代入和求得和，作差即可得到结果.【详解】 即：代入可得：代入可得：本题正确结果：【点睛】本题考查组合数的性质、二项展开式系数和的应用问题，对于与二项展开式系数和有关的问题，常采用特殊值的方式来求解.9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）以原点O为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是,直线被曲线截得的线段长为_【答案】【解析】【分析】将曲线的参数方
5、程化为普通方程；直线极坐标方程化为直角坐标方程，联立后求得交点坐标，利用两点间距离公式求得线段长.【详解】由得的普通方程为：又的直角坐标方程为：联立，解得交点坐标为：，直线被曲线截得的线段长为：本题正确结果：【点睛】本题考查直线被曲线截得的弦长问题，关键是能够将参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，进而在直角坐标系中来求解.10.下列命题错误的是_（1）命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为0，则”；（2）若命题：，则：；（3）中，“”是“”的充要条件；（4）若向量满足，则的夹角为钝角。【答案】【解析】试题分析：根据题意，由于命题“若，则” 的逆否命题为“若，中至少有一个不
6、为，则”成立。若命题：，则：，成立。中，是的充要条件成立。若向量，满足，则与的夹角为钝角，可能是平角，因此错误，故填写考点：命题的真假判定点评：解决的关键是根据四种命题的关系，以及充要条件来求解，属于基础题。11.有个座位连成一排，现有4人就坐，则恰有个空座位相邻的不同坐法有_种.（用数字作答）【答案】480【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：，将4人全排列，安排在4个座位上，排好后，有5个空档可用，将3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分2步进行分析：，将4人全排列，安排在4个座位上，有=24种情况，排好后，有5个空档可用，将
7、3个空座位分成1、2的两组，将其安排在5个空档之中，有种情况，则恰有2个空座位相邻的不同坐法有2420=480种；故答案为：480【点睛】(1)本题主要考查排列组合综合应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)排列组合常用的方法：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.12.对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式“分裂”：，仿此，若m3的“分裂数”中有一个是413，则m_【答案】20【解析】【分析】通过归纳推理，可知为分裂后的第个数；再根据分裂数的个数和为个，找到使得的第一个正整
8、数即可.【详解】将分裂后的数字排序为：当时，即为分裂后的第个数由到的分裂数中，共有个由题意可知是第一个使得的正整数当时，当时，本题正确结果：【点睛】本题考查归纳推理相关应用，关键是通过已知归纳总结出规律，从而利用规律求得结果.13.已知复数满足，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】将等式变为，根据复数模的运算性质得到，根据不等式求得最大值.【详解】 由复数模的性质可得：，即解不等式可得：本题正确结果：【点睛】本题考查复数的模的性质的应用，通过模的性质构造出不等关系，解不等式求得最值.14.已知各项均为正数且项数为4的数列（n1，2，3，4）的首项为1，若存在，使得对于任意的 (7，8)，均有
9、（1，2）成立，则的取值范围为_【答案】（2,3）【解析】【分析】分别代入和得到两个不等式，可整理出满足的关系式；两个不等式联立可得到与的关系，从而根据的范围得到的取值范围.【详解】当时，即当时，由得： 由得： 综上所述：【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用问题，关键是能够通过所给出的递推关系式，以作为桥梁，构建出与之间满足的不等关系，从而能够使范围得以求解.本题对于不等式知识的应用要求较高，属于较难题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤15.设函数定义域为，函数，的值域为（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，
10、求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）借助题设条件解二次不等式和求值域求出集合求解；（2）借助题设运用充分必要条件的结论推断求解.试题解析：（1）由，解得，所以，又函数在区间上单调递减，所以，即当时，所以（2）首先要求，而“”是“”的必要不充分条件，所以是的真子集，从而， 解得考点：二次不等式及集合求交计算和子集的包含关系等有关知识的综合运用.16.已知直线l：（1）矩阵A 所对应的变换将直线l变换为自身，求a的值；（2）若一条曲线C在关于直线l的反射变换下变为曲线C：，求此反射变换所对应的矩阵B，并求出曲线C的方程【答案】（1） （2）；【解析】【分析】（1）根据矩
11、阵变换得到变换后的方程，利用与原直线相同构造等式，求出；（2）求出反射变换在基上的作用，即与关于直线的对称点坐标，即可得到矩阵；再根据矩阵变换的方法求得曲线.【详解】（1）设为上任意一点，其在的作用下变为则，即，代入可得：，整理可得： （2）设点关于的对称点 同理可求得关于的对称点 设曲线上的任意一点为，其在的作用下变为 ，代入得：，整理可得：【点睛】本题考查矩阵变换中的反射变换，关键是明确矩阵变换的基本运算原理和方法，属于常规题型.17.某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会（1）记“选出2人参
12、加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1） ； （2）.【解析】【分析】（1）分别计算次数之和为的两种情况的选法，根据古典概型计算得到结果；（2）首先确定所有可能的取值为，分别结算每个取值所对应的概率，从而可得分布列；根据数学期望的公式计算可得期望.【详解】（1）参加义工活动次数之和为，则人分别参加活动次数为“和”或“和”次数为“和”共有：种选法；次数为“和”共有：种选法则所以事件的发生的概率为（2）随机变量的所有可能的取值为；所以随机变量的分布列为：数学期望【点睛】本题考查古典概型、分布列与数
13、学期望的相关知识，涉及到简单的排列组合的应用，属于常规题型.18.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）若点分别在上，且平面，试确定点的位置【答案】（1）；（2）M为AB的中点，N为PC的中点【解析】【分析】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直以为正交基底，建立空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量为，由空间向量的线面角公式求解即可；（2）设 ，利用平面PCD，所以，得到的方程，求解即可确定M,N的位置【详解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则从而设平面PCD的法向量则即不妨取则所以平面PCD的一
14、个法向量为 设直线PB与平面PCD所成角为所以即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 （2）设则设则而所以由（1）知，平面PCD的一个法向量为，因为平面PCD，所以所以解得，所以M为AB的中点，N为PC的中点 【点睛】本题考查空间向量的应用，求线面角，探索性问题求点位置，熟练掌握空间向量的运算是关键，是基础题19.已知数列是等差数列，且是展开式的前三项的系数.（1）求的值；（2）求展开式的中间项；（3）当时，用数学归纳法证明：.【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）先求出，由可得m的值.(2)求展开式中的第五项即得解.(3)利用数学归纳法证明.【详解】（1）依题意，由可得（舍去），或 （2）所以展开式的中间项是第五项为：； （3）证明：由题得，
