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1、综合仿真练(一)(理独)1本题包括A、B、C三个小题,请任选二个作答A选修42:矩阵与变换(2019江苏高考)已知矩阵A.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值解:(1)因为A,所以A2.(2)矩阵A的特征多项式为f()254.令f()0,解得A的特征值11,24.B选修44:坐标系与参数方程在极坐标系中,已知圆C的圆心在极轴上,且过极点和点,求圆C的极坐标方程解:法一:因为圆心C在极轴上且过极点,所以设圆C的极坐标方程为acos , 又因为点在圆C上,所以3acos ,解得a6.所以圆C的极坐标方程为6cos .法二:点的直角坐标为(3,3),因为圆C过点(0,0),(3,3),所以圆心C在直
2、线为xy30上又圆心C在极轴上,所以圆C的直角坐标方程为(x3)2y29.所以圆C的极坐标方程为6cos .C选修45:不等式选讲(2019南通等七市一模)柯西不等式已知实数a,b,c满足a2b2c21,求证:.证明:由柯西不等式,得(a21)(b21)(c21)29,所以.2(2019扬州期末)已知直线x2上有一动点Q,过点Q作直线l1垂直于y轴,动点P在l1上,且满足0(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)已知定点M,N,A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求MBD的内切圆半径r的取值范围解:(1)设点P(
3、x,y),则Q(2,y),(x,y),(2,y),0,2xy20,即y22x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),直线BD与x轴的交点为E,MBD内切圆与MB的切点为T.设直线AM的方程为yk,联立方程,得得k2x2(k22)x0,44k20,x1,2,x1x2且0x1x2,x11,r在(1,)上单调递增,则r,即r的取值范围为(1,)法二:H(x2r,0),直线BD的方程为xx2,直线AM的方程为y,即y2xyy20,且点H与点O在直线AB的同侧,不妨设点B在x轴上方,r,解得r.令tx2,则t1,r在(1,)上单调递增,则r,即r的取值范围为(1,)法三:MTHM
4、EB,即,解得r.令tx2,则t1,r在(1,)上单调递增,则r,即r的取值范围为(1,)3一条直路上依次有2n1棵树,分别为T1,T2,T2n1(n为给定的正整数),一个醉汉从中间位置的树Tn1出发,并按以下规律在这些树之间随机游走n分钟:当他某一分钟末在树Ti(2i2n)位置时,下一分钟末他分别有,的概率到达Ti1,Ti,Ti1的位置(1)求该醉汉第n分钟末处在树Ti(1i2n1)位置的概率;(2)设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度,试求该醉汉第n分钟末所在位置与起始位置(即树Tn1)之间的距离的数学期望(用关于n的最简形式表示)解:(1)不妨假设2n1棵树T1,T2,T2n1从左向右排
5、列,每2棵树的间距为1个单位长度因为该醉汉下一分钟末分别有,的概率到达Ti1,Ti,Ti1的位置,所以该醉汉将以的概率向左或向右走我们规定,事件“以的概率向左或向右走0.5个单位长度”为一次“随机游走”,故原问题等价于求该醉汉从树Tn1位置出发,经过2n次随机游走后处在树Ti位置的概率为Pi.对某个i(1i2n1),设从Tn1出发,经过2n次随机游走到达Ti的全过程中,向右走0.5个单位长度和向左走0.5个单位长度分别有k次和2nk次,则n1i,解得ki1,即在2n次中有i1次向右游走,2n(i1)次向左游走,而这样的情形共C种,故所求的概率Pi(1i2n1)(2)对i1,2,2n1,树Ti与Tn1相距|n1i|个单位长度,而该醉汉到树Ti的概率为Pi,故所求的数学期望En1i|.而n1i|Cnj|C2(nj)C2C2C2n2nC2n(C)4nn(C22n)4nn(C22n)2n22n1nC,因此E.5