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1、综合仿真练(一)(理独)1本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A选修42：矩阵与变换(2019江苏高考)已知矩阵A.(1)求A2；(2)求矩阵A的特征值解：(1)因为A，所以A2.(2)矩阵A的特征多项式为f()254.令f()0，解得A的特征值11，24.B选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆C的极坐标方程解：法一：因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为acos ， 又因为点在圆C上，所以3acos ，解得a6.所以圆C的极坐标方程为6cos .法二：点的直角坐标为(3,3)，因为圆C过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C在直
2、线为xy30上又圆心C在极轴上，所以圆C的直角坐标方程为(x3)2y29.所以圆C的极坐标方程为6cos .C选修45：不等式选讲(2019南通等七市一模)柯西不等式已知实数a，b，c满足a2b2c21，求证：.证明：由柯西不等式，得(a21)(b21)(c21)29，所以.2(2019扬州期末)已知直线x2上有一动点Q，过点Q作直线l1垂直于y轴，动点P在l1上，且满足0(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)已知定点M，N，A为曲线C上一点，直线AM交曲线C于另一点B，且点A在线段MB上，直线AN交曲线C于另一点D，求MBD的内切圆半径r的取值范围解：(1)设点P(
3、x，y)，则Q(2，y)，(x，y)，(2，y)，0，2xy20，即y22x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，直线BD与x轴的交点为E，MBD内切圆与MB的切点为T.设直线AM的方程为yk，联立方程，得得k2x2(k22)x0，44k20，x1,2，x1x2且0x1x2，x11，r在(1，)上单调递增，则r，即r的取值范围为(1，)法二：H(x2r,0)，直线BD的方程为xx2，直线AM的方程为y，即y2xyy20，且点H与点O在直线AB的同侧，不妨设点B在x轴上方，r，解得r.令tx2，则t1，r在(1，)上单调递增，则r，即r的取值范围为(1，)法三：MTHM
4、EB，即，解得r.令tx2，则t1，r在(1，)上单调递增，则r，即r的取值范围为(1，)3一条直路上依次有2n1棵树，分别为T1，T2，T2n1(n为给定的正整数)，一个醉汉从中间位置的树Tn1出发，并按以下规律在这些树之间随机游走n分钟：当他某一分钟末在树Ti(2i2n)位置时，下一分钟末他分别有，的概率到达Ti1，Ti，Ti1的位置(1)求该醉汉第n分钟末处在树Ti(1i2n1)位置的概率；(2)设相邻2棵树之间的距离为1个单位长度，试求该醉汉第n分钟末所在位置与起始位置(即树Tn1)之间的距离的数学期望(用关于n的最简形式表示)解：(1)不妨假设2n1棵树T1，T2，T2n1从左向右排
5、列，每2棵树的间距为1个单位长度因为该醉汉下一分钟末分别有，的概率到达Ti1，Ti，Ti1的位置，所以该醉汉将以的概率向左或向右走我们规定，事件“以的概率向左或向右走0.5个单位长度”为一次“随机游走”，故原问题等价于求该醉汉从树Tn1位置出发，经过2n次随机游走后处在树Ti位置的概率为Pi.对某个i(1i2n1)，设从Tn1出发，经过2n次随机游走到达Ti的全过程中，向右走0.5个单位长度和向左走0.5个单位长度分别有k次和2nk次，则n1i，解得ki1，即在2n次中有i1次向右游走，2n(i1)次向左游走，而这样的情形共C种，故所求的概率Pi(1i2n1)(2)对i1,2，2n1，树Ti与Tn1相距|n1i|个单位长度，而该醉汉到树Ti的概率为Pi，故所求的数学期望En1i|.而n1i|Cnj|C2(nj)C2C2C2n2nC2n(C)4nn(C22n)4nn(C22n)2n22n1nC，因此E.5
