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1、高二数学归纳法及其应用教案（一）知识归纳：数学归纳法是证明与正整数n有关的数学命题的一种重要方法，其证题程序是：验证n取第一个值n0时结论正确；假设时结论正确，证明当时结论也正确.如果、两个步骤都完成了，则可断定结论对的一切正整数都正确.实际上，中学所学的这种数学归纳法称第一数学归纳法.（二）学习要点：1用数学归纳法证题要注意下面几点：证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；成败的关键取决于第二步对的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题
2、”等，要积累这几种题型的证题经验.3必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n有关的命题”都有效.【例1】用数学归纳法证明下述等式问题：（）.证明 . 当时，左边，右边，左边=右边，时等式成立；. 假设时等式成立，即，当时，左边 =右边，即时等式成立，根据，等式对都正确.（）.证明. 当时，左边右边，等式成立；. 假设时等式成立，即，当时，左边=+右边，等式也成立；由知等式对都成立.【评析】等式问题是比较基本的问题，的证明的技巧一般都不高，而且在高考中出现得不多.【例2】用数学归纳法证明下述整除问题：（）求证：能被6 整除.证明. 当时，13+51=6能被6整除，命题正确；. 假设时命题正确，
3、即能被6整除，当时，两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，能被6整除，即当时命题也正确，由知命题时都正确.（）求证：被133整除.证明. 当n=1时，113+123=1331+1728=3059=13323能被133整除，当n=1时命题正确；. 假设当时命题正确，即能被133整除，时，能被133整除，即当时命题也正确；由知命题对都正确.评析在高考难度范围内，整除问题并不多见，如果与正整数n有关的整除问题，在教材的范围内一般只有用数学归纳法解决，在的证明过程中应首先考虑拼凑出“归纳假设”，然后再想办法证明剩余部分.【例3】已知n个圆中每两个圆相交于两点，且无三圆过同一点，用数学归纳法证明：这n
4、个圆将平面划分成块区域.证明. 当时，1个圆将平面分成2部分，而2=121+2，当n=1时命题正确；. 假设时命题正确，即满足条件的个圆将平面划分成部分，当时，平面上增加了第个圆，它与原来的个圆的每一个圆都相交于两个不同点，共个交点. 而这个点将第个圆分成段弧，每段弧将原来的一块区域隔成了两块区域，区域的块数增加了块，个圆将平面划分成的块数为，时命题也正确，根据知命题对都正确.评析用数学归纳法证明几何问题是教材中一种题型，但由于这种题型的证明主要是文字推理为主，在评分上不好把握，因此考试中很难见到这种题型.【例4】用数学归纳法证明下述不等式；（）证明. 当n=2时，左边，当n=2时，不等式正确
5、；. 假设当不等式正确，即，当时，左边，当时不等式也正确；根据知对，且，不等式都正确.（）证明. 当时，左边=右边，时不等式正确；. 假设当时不等式正确，即，当时，左边右边，当时不等式也正确；根据知对，不等式都正确.（）.解析记，. 当时，当时，不等式正确；. 假设时不等式正确，即，当时，而，而，即时不等式正确；根据知对，不等式正确.评析用数学归纳法证明与正整数n有关的不等式，是数学归纳法学习重点，也是考试中的重点题型之一，在的证明过程中还需要熟练运用不等式证明的一些技巧，有时有一定的难度，不过必须注意，不是所有的与正整数n有关的不等式证明都能用数学归纳法证明成功.【例5】解答下述问题：（）若
6、数列的前n项和Sn与an满足关系：，求证：为等差数列.证明用数学归纳法证明：. 当时，即成等差数列，命题正确；. 假设时成等差数列，且公差为d，当时， ，得，成等差数列（公差为d），即时命题成立，由、知成等差数列.（）数列和分别是等比数列和等差数列，它们的前四项之和分别是120和60，而第二项与第四项之和分别是90和34.集合，求证： B.证明设的公比为q，的公差为d，（易知由条件得；而； B 对任意正整数n，都存在整数m使，对n用数学归纳法证明： 当时，时命题正确； 假设当时命题正确，即存在整数使，时，为整数，当时命题成立， B评析例5是两个与正整数n有关的命题，也可以不用数学归纳法证明，因
7、此考试中要迅速作出抉择是否用数学归纳法证明.数学归纳法训练题1已知n为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设为偶 数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A时等式成立B时等式成立C时等式成立D时等式成立2设，则（ ）ABC D3用数学归纳法证明时， 由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）AB C D4某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时 命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推得（ ）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立5用数学归纳法证明“”（）时，从 “”时，左边应增添的式子是（ ）ABCD6用数学
8、归纳法证明“”时， 由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（ ）ABCD二、填空题7凸边形内角和为，则凸边形的内角为 .8平面上有n条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设条这样的直线把平面分 成个区域，则条直线把平面分成的区域数 .9用数学归纳法证明“”时，第一步验证为 .10用数学归纳法证明“当n为正奇数时，能被整除”，当第二步假设 命题为真时，进而需证 时，命题亦真.11用数学归纳法证明：；12用数学归纳法证明： （）能被264整除； （）能被整除（其中n，a为正整数）13用数学归纳法证明： （）； （）；14设数列，其中是不等于零的常数，求证：不在数列中.15设
9、数列，其中，求证：对都有 （）； （）； （）.参考答案一、1.B 2.D 3.B 4.C 5.B 6.D二、7， 8， 9当时，左边=4=右边，命题正确. 1011当时，左边=.12（）当时，能被264整除，命题正确. （）时，能被整除.13（）当时，左边（）=右边，命题正确2k项（）时，左边14先用数学归纳法证明；假设与条件矛盾.15三小题都用数学归纳法证明： （）. 当时，成立；. 假设时，成立，当时，而；由知，对都有. （）. 当n=1时，命题正确；. 假设时命题正确，即，当时，命题也正确；由，知对都有. （）. 当n=1时，命题正确；. 假设时命题正确，即当时，命题正确；由、知对都有.用心 爱心 专心 121号编辑 9
