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1、江苏省宿迁市2019届高三数学3月月考试题（扫描版）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1 【答案】42【答案】3 【答案】354.【答案】5 【答案】306. 【答案】7. 【答案】8. 【答案】9 【答案】10 【答案】11【答案】512 【答案】13 【答案】14 【答案】44二、解答题：本大题共6小题，共计90分15. 【解】（1）因为ab，所以，2分所以 4分因为，所以于是 解得 6分（2）因为，所以，又，故因为，所以，又，解得10分因此， 12分 14分16. 【证明】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， 所以侧面ACC1 A1为平行四边形又A1C与AC
2、1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点所以DEAB3分又AB平面ABB1 A1，DE平面ABB1 A1，所以DE平面ABB1A1 6分（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1A1B1 8分又A1B1B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1B1C1 = B1，所以A1B1平面BCC1B1 10分又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1BC112分又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C又A1B1B1C = B1，A1B1，B1C 平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C14分17.
3、【解】（1）由题意FH平面ABCD，FMBC，又因为HM 平面ABCD，得FHHM 2分在RtFHM中，HM = 5，所以4分因此FBC的面积为从而屋顶面积所以S关于的函数关系式为() 6分（2）在RtFHM中，所以主体高度为 8分所以别墅总造价为 10分记，所以，令，得，又，所以12分-0+列表：所以当时，有最小值答：当为时该别墅总造价最低 14分18 【解】（1）设椭圆C2的焦距为2c，由题意，解得，因此椭圆C2的标准方程为 3分（2）1当直线OP斜率不存在时，则 4分2当直线OP斜率存在时，设直线OP的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，所以，同理6分所以，由题意，同号，所以，从而所
4、以为定值 8分设，所以直线的方程为，即，记，则的方程为，代入椭圆C1的方程，消去y，得，因为直线与椭圆C1有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得， 12分同理可得，所以为关于k的方程的两根，从而14分又点在椭圆C2：上，所以，所以为定值 16分19 【解】（1）当时，函数的定义域为则，令得，或 2分12+0-0+极大值极小值列表：所以函数的极大值为；极小值为 4分（2）依题意，切线方程为，从而，记，则在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立 8分法一：变形得在上恒成立 ，所以，又，所以 10分法二：变形得在上恒成立 ，因为（当且仅当时，等号成立），所以，从而，所以10分（3）假
5、设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点，不妨，则处切线的方程为：，处切线的方程为：因为，为同一直线，所以12分即整理得， 14分消去得， 令，由与，得，记，则，所以为上的单调减函数，所以从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点 16分20 【解】（1）因为，令，得，因为，所以令，得，即，因为，所以3分（2）因为， 所以， 得，因为，所以， 5分所以， 当时，得，即，因为，所以又由（1）知，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列 8分（3）由（2）知，因为对任意的，恒成立，所以的值介于和之间因为对任意的恒成立，所以适合 10分若，当为奇数时，恒成
6、立，从而有恒成立记，因为，所以，即，所以（*），从而当时，有，所以不符 13分若，当为奇数时，恒成立，从而有恒成立由（*）式知，当时，有，所以不符综上，实数的所有值为0 16分21【解】由题意得，即所以即矩阵. 5分矩阵的特征多项式，解得矩阵的另一个特征值为.10分B 【解】由题意得，直线的普通方程为椭圆C的普通方程为 4分由联立，解得A，B， 8分所以10分C 【证】由柯西不等式得， 5分因为，所以所以，当且仅当“”时取等号 10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分 22. 【解】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则从而设平面PCD的法向量则即不妨取则所以平面PCD的一个法向量为 3分设直线PB与平面PCD所成角为所以即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为5分（2）设则设则而所以 8分由（1）知，平面PCD的一个法向量为，因为平面PCD，所以所以解得，所以M为AB的中点，N为PC的中点 10分23. 证明：（1）当时，因为，均为非负实数，且，所以2分4分（2）当时，由（1）可知，命题成立；假设当时，命题成立，即对于任意的，若，均为非负实数，且，则则当时，设，并不妨设令，则由归纳假设，知8分因为均为非负实数，且，所以所以，即，也就是说，当时命题也成立所以，由可知，对于任意的，10分- 16 -
