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1、第十二课时 函数的单调性和奇偶性【学习导航】学习要求:1、熟练掌握函数单调性,并理解复合函数的单调性问题。2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。3、学会对函数单调性,奇偶性的综合应用。【精典范例】一、利用函数单调性求函数最值例1、已知函数y=f(x)对任意x,yR均为f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)0,f(1)= .(1)判断并证明f(x)在R上的单调性;(2)求f(x)在3,3上的最大、小值。思维分析:抽象函数的性质要紧扣定义,并同时注意特殊值的应用。解:(1)令x=y=0,f(0)=0,令x=y可得:f(x)= f(x),在R上任取x10,所以f(x2) f(x1)=f(x
2、2)+f(x1)=f(x2x1).因为x10。又因为x0时f(x)0,所以f(x2x1)0,即f(x2)f(x1).由定义可知f(x)在R上是减函数.(2)因为f(x)在R上是减函数,所以f(x)在3,3上也是减函数.所以f(3)最大,f(3)最小。所以f(3)= f(3)=2即f(x)在3,3上最大值为2,最小值为2。二、复合函数单调性例2、求函数y=的单调区间,并对其中一种情况证明。思维分析:要求出y=的单调区间,首先求出定义域,然后利用复合函数的判定方法判断.解:设u=x22x3,则y=.因为u0,所以x22x30.所以x3或x1.因为y=在u0时是增函数,又当x3时,u是增函数,所以当
3、x3时,y是x的增函数。又当 x1时,u是减函数,所以当x1时,y是x的减函数。所以y=的单调递增区间是3,+ ),单调递减区间是(,1。证明略三、利用奇偶性,讨论方程根情况例3、已知y=f(x)是偶函数,且图象与x轴四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是( )A.4B.2C.0D.不知解析式不能确定思维分析:因为f(x)是偶函数且图象与x轴有四个交点,这四个交点每两个关于原点一定是对称的,故x1+x2+x3+x4=0.答案:C四、利用奇偶性,单调性解不等式例4、设f(x)是定义在2,2上的偶函数,当x0时,f(x)单调递减,若f(1m)f(m)成立,求m的取值范围。思维分析:要求m的取
4、值范围,就要列关于m的不等式,由f(1m)0时的情况,从而使问题简单化。解:因为函数f(x)在2,2上是偶函数,则由f(1m)f(m)可得f(|1m|)f(|m|).又x0时,f(x)是单调减函数,所以。解之得:1m.追踪训练1、函数f(x)=的值域是( )A.,+)B.(,C.(0,+)D.1,+ )答案:A2、下列函数中,在区间(,0)上为增函数的是( )A.y=1+B.y=(x+1)2C.y=D.y=x3答案:D3、设f(x)在R上是偶函数,在区间(,0)上递增,且有f(2a2+a+1)f(3a22a+1),求a的取值范围。答案:0a34、已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,它们的定义域均为x|xR且x1,若f(x)+g(x)=,则f(x)=_,g(x)=_答案:f(x)=,g(x)=.5、函数f(x)=是定义在(1,1)上的奇函数,且f()=.(1)确定函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t1)+f(t)0;答案:(1)f(x)=(2)证明略 (3)0t用心 爱心 专心