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1、河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.命题“若,则”的逆命题为( )A. 若,则B. 若,则C. 若,则D. 若,则【答案】C【解析】【分析】根据命题与逆命题的关系,可得逆命题。【详解】根据原命题与逆命题的关系,可得逆命题为若,则所以选C【点睛】本题考查了命题与逆命题的关系,属于基础题。2.在等差数列中,则A. 8B. 9C. 11D. 12【答案】B【解析】【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解的值【详解】在等差数列中,由,得,又,故选:B【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查等差数列的性质,是基础题3.在中,角
2、A,B,C的对边分别是边a,b,c,若,则A. B. 6C. 7D. 8【答案】C【解析】【分析】由已知利用三角形内角和定理可求B的值,根据余弦定理可得b的值【详解】,由余弦定理可得:故选:C【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题4.已知双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2,焦距为10,则双曲线的方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线定义及a、b、c关系,求出值即可得到双曲线方程。【详解】因为双曲线 的实轴的长度比虚轴的长度大2,焦距为10所以 ,解方程组得且焦点在x轴上,所以双曲线标准方程为所以选B【点睛】本题考查了利
3、用a、b、c的关系求双曲线标准方程,属于基础题。5.在三棱柱中,若,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】可画出三棱柱,结合图形即可求出,这样根据向量加法的平行四边形法则即可求出【详解】如图,;,;故选:D【点睛】本题考查相等向量、相反向量的概念,向量减法的几何意义,向量加法的平行四边形法则,数形结合的解题方法6.设,若“ ”是“ ”的充分不必要条件,则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式求得x的取值范围,根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。【详解】解不等式得因为“ ”是“ ”的充分不必要条件,且所以 所以选C【点睛】本题考查了充分必
4、要条件的判断,注意边界问题,属于基础题。7.设直线的方向向量为,平面的法向量为,则使成立的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】【分析】由题意,验证,得到,进而得到答案。【详解】由题意,只有B中,所以,故【点睛】本题主要考查了利用空间向量判定点、线、面的位置关系的应用,其中熟记空间向量与线面位置关系的判定方法,熟练使用平面的法向量是解答本题的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。8.设x,y满足约束条件,则的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最
5、优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出表示的可行域,如图,由可得,可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最小,最小值为,故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.9.已知点是抛物线的焦点,点分别是抛物线上位于第一、四象限的点,若,则的面积为A. 42B. 30C. 18D. 14【答案】A
6、【解析】【分析】利用焦半径公式可得,得到抛物线方程,求得的坐标,得到方程,求出与轴交点,再由面积公式求解【详解】因为到焦点的距离,等于到准线的距离,所以,则抛物线的方程为,把代入方程,得舍去,即同理可得,则:,即设直线与轴交于点,已知,故选A【点睛】本题考查抛物线的方程、定义与简单性质,是中档题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.10.已知在长方体中,是侧棱的中点,则直线与平面所成角的正弦值为A.
7、 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,求得利用向量垂直数量积为零列方程求出的法向量,由空间向量夹角余弦公式可得结果【详解】在长方体中,是侧棱的中点,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,0,0,0,1,设平面的法向量为,则,取,得,设直线与平面所成角为,则直线与平面所成角的正弦值为,故选B【点睛】本题考查线面角的正弦值的求法,以及空间向量夹角余弦公式的应用,是中档题利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”:第一,破“建系关”,构建恰当的空间直角坐标系;第二,破“求坐标关”,准确求解相关点的坐标;第三,破“求法向量关”,求出平面
8、的法向量;第四,破“应用公式关”.11.在直角坐标系中,是椭圆:的左焦点,分别为左、右顶点,过点作轴的垂线交椭圆于,两点,连接交轴于点,连接交于点,若是线段的中点,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意结合几何性质找到a,c的关系即可确定椭圆的离心率。【详解】如图,连接BQ,则由椭圆的对称性易得PBF=QBF,EAB=EBA,所以EAB=QBF,所以ME/BQ.因为PMEPQB,所以,因为PBFEBO,所以,从而有,又因为M是线段PF的中点,所以.本题选择C选项.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种
9、方法:求出a,c,代入公式;只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2a2c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)12.设是数列的前项和,若,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可由题设中的递推关系得到,将其变形为后用累加法求可得【详解】因为,所以且,所以,整理得到,所以,所以,选A【点睛】数列的通项与前项和 的关系式,我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.设命题:,则为_ .【答案】,【解析】【分析】由全称命题的否
10、定即可得到答案。【详解】根据全称命题的否定,可得为,【点睛】本题考查了含有量词的命题否定,属于基础题。14.已知,则的最小值为_【答案】1【解析】【分析】根据基本不等式即可求出最小值【详解】,当且仅当,即时取等号,故答案为:1【点睛】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题15.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则_【答案】【解析】【分析】由已知利用余弦定理可求,又,可求b,c的值,根据余弦定理可求,利用同角三角函数基本关系式可求的值,根据三角形的面积公式即可计算得解【详解】,由余弦定理可得:,整理可得:,解得:,可得:,故答案为:【点睛】本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本
11、关系式,三角形的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题16.已知双曲线的左、右焦点分别为、,过的直线交C的右支于A、B两点,则C的离心率为_【答案】【解析】【分析】可设,由可得,运用双曲线的定义和勾股定理求得,再由勾股定理和离心率公式,计算可得所求值【详解】可设,由可得,由双曲线的定义可得,由双曲线的定义可得,在直角三角形中,可得,即,在直角三角形中,可得,即为,即,可得故答案为:【点睛】本题考查双曲线的定义和性质,主要是离心率的求法,注意运用直角三角形的勾股定理,考查方程思想和运算能力,属于中档题三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知表示焦点在x轴
12、上的双曲线,q:方程表示一个圆若p是真命题,求m的取值范围;若是真命题,求m的取值范围【答案】(1);(2).【解析】【分析】结合双曲线的定义进行求解即可根据复合命题真假关系,得到p,q都是真命题进行求解即可【详解】解:若表示焦点在x轴上的双曲线为真命题,则,得,得,由得,若方程表示圆,则得,即q:,若是真命题,则p,q都是真命题,则,得,即实数m的取值范围是【点睛】本题主要考查命题真假的应用,以及复合命题真假关系,求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键18.已知数列满足,证明:数列是等比数列;设,求数列的前n项和【答案】(1)详见解析;(2).【解析】【分析】对数列的递推式两边加1,结合
13、等比数列的定义,即可得证;由对数的运算性质可得,再由裂项相消求和,化简可得所求和【详解】解:证明:数列满足,可得,即有数列是首项为2,公比为3的等比数列;由可得,即有,数列的前n项和【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和,考查化简整理的运算能力,属于中档题19.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且求A;若,求的面积【答案】();()2.【解析】【分析】【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理,结合题意求得的值,从而求出角A的值;【方法二】利用余弦定理结合题意求得,从而求得A的值;由同角的三角函数关系求得,再利用三角恒等变换求得,利用正弦定理求得b,计算的面积【详解】解:【方法一】由已知得,;又,由,得;【方法二】由已知得,化简得,由,得;由,得,在中,由正弦定理,得,【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题,考查了三角形面积公式,属于中档题20.如图,在直三棱柱中,点在线段上,且求的长;求二面角的大小【答案】(1);(2)【解析】【分析】连接,先证明平面,可得,利用三角形与三角形相似,可得,利用直角三角形的性质求得;连接,结合(1),由线面垂直的性质可得,即为所求角,由等腰直角三角形的性质可得结果【详解】为直三棱柱,平面平面,平面,所以,所以平面,,三角形与三角形相似,又,;设,连接BD,即为二面角的平面角,在中求得,为等腰直角三角形,故【点睛