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1、导数在研究函数中的应用目标认知学习目标:1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,对多项式函数一般不超过三次. 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件();会用导数求函数的极大值、极小值,对多项式函数一般不超过三次.3会求闭区间上函数的最大值、最小值,对多项式函数一般不超过三次.重点:利用导数判断函数单调性;函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值难点:利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识要点梳理知识点一:函数的单调性(一) 导数的符号与函数的单调性:一般地,设函数在某
2、个区间内有导数,则在这个区间上,若,则在这个区间上为增函数;若,则在这个区间上为减函数;若恒有,则在这一区间上为常函数.反之,若在某区间上单调递增,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0);若在某区间上单调递减,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0)注意:1. 若在某区间上有有限个点使,在其余点恒有,则仍为增函数(减函数的情形完全类似).即在区间(a,b)内,(或)是在(a,b)内单调递增(或减)的充分不必要条件!例如: 而f(x)在R上递增.2. 学生易误认为只要有点使,则f(x)在(a,b)上是常函数,要指出个别导数为零不影响函数的单调性,同时要强调只有在这个区间内恒有,这个函数在这个区间上才为
3、常数函数.3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.(二)利用导数求函数单调性的基本步骤:1. 确定函数的定义域;2. 求导数;3. 在定义域内解不等式,解出相应的x的范围; 当时,在相应区间上为增函数; 当时在相应区间上为减函数.4. 写出的单调区间.知识点二:函数的极值(一)函数的极值的定义一般地,设函数在点及其附近有定义,(1)若对于附近的所有点,都有,则是函数的一个极大值,记作 ;(2)若对附近的所有点,都有,则是函数的一个极小值,记作.极大值与极小值统称极值.在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.注意:由函数的极值定义可知: (1)在函数的极值定义中
4、,一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,否则无从比较. (2)函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的,是一个局部概念;在函数的整个定义域内可能有多个极值,也可能无极值.由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. (4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. (5)可导函数在某点取得极值,则该点的导数一定
5、为零,反之不成立.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有.但反过来不一定.如函数y=x3,在x=0处,曲线的切线是水平的,但这点不是函数的极值点.(二)求函数极值的的基本步骤:确定函数的定义域;求导数;求方程的根;检查在方程根左右的值的符号,如果左正右负,则f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右 正,则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)知识点三:函数的最大值与最小值(一) 函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续,则在上必有最大值和最小值;在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.(二)求函数最值的的基本
6、步骤:若函数在闭区间有定义,在开区间内有导数,则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下:(1)求函数在内的导数 (2)求在内的极值;(3)求在闭区间端点处的函数值,;(4)将的各极值与,比较,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.(三)最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题,导数的理论是有力的工具,基本解题思路为:(1)认知、立式:分析、认知实际问题中各个变量之间的联系,引入变量,建立适当的函数关系;(2)探求最值:立足函数的定义域,探求函数的最值;(3)检验、作答:利用实际意义检查(2)的结果,并回答所提出的问题,特殊地,如果所得函数在区间内只有一个点满足,并且在点处有极大(小)值,而
7、所给实际问题又必有最大(小)值,那么上述极大(小)值便是最大(小)值.规律方法指导(1)利用导数讨论函数的单调区间,首先要确定函数的定义域D,并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A,由确定的x的取值范围为B,则应有.如:.(2)最值与极值的区别与联系: 函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的(具有绝对性),是整个定义域上的整体性概念,最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值;最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的(具有相对性),是局部的概念; 极值可以有多个,最大(小)值若存
8、在只有一个;极值只能在区间内取得,不能在区间端点取得;最大(小)值可能是某个极大(小)值,也可能是区间端点处的函数值; 有极值的函数不一定有最值,有最值的函数未必有极值,极值可能成为最值. 若在开区间内可导,且有唯一的极大(小)值,则这一极大(小)值即为最大(小)值.典型例题 例1设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值范围,并求其单调区间。 解析:f(x)=3ax2+1,若a0, f(x)0,对xR恒成立,此时f(x)只有一个单调区间,矛盾。 若a0, f(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。 a0且单调减区间为,单调增区间为。 例2求函数y=2ex+e-x的极值。 解析:y
9、=2ex-e-x,令y=0, 即2e2x=1, 列表: x y- 0 + y 极小值 y极小。例3求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。 解析:f(x)=3-3x2, 令f(x)=0,则x1=-1,x2=1。则f(-1)=-2, f(1)=2,又, f(x)max=2, f(x)min=-18。例4如右图所示,在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD,求这个矩形面积的最大值。 解析:设点B的坐标为(x,0)且0x2, f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, 点C的坐标为(4-x,0), |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。
10、矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 y=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8) 令y=0,解得, 0x2, 取。 极值点只有一个,当时,矩形面积的最大值。 例5一艘渔艇停泊在距岸9km处,今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站,如果送信人步行每小时5km,船速每小时4km,问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省? 解析:如图示设A点为渔艇处,BC为海岸线,C为渔站,且AB=9km, 设D为海岸线上一点,CD=x,只需将时间T表示为x的函数, , 由A到C的时间T,则(0x15)(0x15) 令T=0,解得x=3,在x=3附近,T由负到正, 因此在x=3处取得最小值,又,比较可知T(3)最小。 训练题: 1函数y=4x2(x-2), x-2,2的最小值是_。 2一个外直径为10cm的球,球壳厚度为,则球壳体积的近似值为_。 3函数f(x)=x4-5x2+4的极大值是_,极小值是_。 参考答案: 1. 642. 19.63cm33. 4;4. 设高为h,底边长为a,则所用材料为S=a2+4ah,而a2h=256,a(0,+), , a(0,+), 令S(a)=, a=8。显然当0a8时,S(a)8时,S(a)0,因此当a=8时,S最小,此时h=4。4做一个容积为256升的方底无盖水箱,问高为多少时最省材料? - 5 -用心 爱心 专心