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1、江苏省如东中学2007年高三数学试题2007.3。20本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分,用时120分钟第卷(选择题,满分50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把正确的代号填在指定位置上)1条件,条件,则是的 A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件2若,则,的大小关系是()ABCD6O4-4-23函数(0,| ,R)的部分图象如图所示,则函数表达式为 A B C D4以抛物线上点为切点的切线,与其准线交点的横坐标为A B C D5已知正三棱锥SABC的三条侧棱两两互相垂
2、直,且SA=2 ,则正三棱锥SABC的外接球的表面积是A. B. C. D. 6设椭圆、双曲线、抛物线(其中)的离心率分别为,则 A B C D大小不确定8341596727将个正整数填入方格中,使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等,这个正方形叫做阶幻方.记为阶幻方对角线上数的和,如右图就是一个阶幻方,可知.已知将等差数列:前项填入方格中,可得到一个阶幻方,则其对角线上数的和等于A B C D8在长方体中,为上任意一点,则一定有A与异面 B与垂直C与平面相交 D与平面平行9设,利用课本中推导等差数列前项和公式的方法,可求得的值为 1 1(第10题图) AB C D10已知奇函数的图象是两
3、条直线的一部分(如图所示),其定义域为,则不等式的解集是A B C D 第卷(非选择题,共计100分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分,把正确的答案填在指定位置上)11若tan=2,则2sin2sin2=_12若 (nN)的展开式中第3项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第_项13在等比数列中,公比,前99项的和,则_ 14在平面直角坐标系中,点A在圆上,点B在直线上,则线段AB的最小值= .15设为椭圆的焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于A,B两点,若为锐角三角形,则该椭圆离心率的取值范围是 .16下面的语句是一个计算机程序的操作说明:(1)初始值为;(2)(将当前的值赋
4、予新的);(3)(将当前的值赋予新的);(4)(将当前的值赋予新的);(5)(将当前的值赋予新的);(6)如果,则执行语句(7),否则返回语句(2)继续进行;(7)打印;(8)程序终止由语句(7)打印出的数值为_,_ 三解答题(本大题共5个小题,共70分)17(本题满分12分)某公司招聘员工,指定三门考试课程,有两种考试方案.方案一:考试三门课程,至少有两门及格为考试通过;方案二:在三门课程中,随机选取两门,这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是0.5,0.6,0.9,且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求:()该应聘者用方案一考试通过的概率;()该应聘者用
5、方案二考试通过的概率.18(本题满分14分)已知函数()若在上是增函数,求实数的取值范围;()若是的极值点,求在上的最小值和最大值19 (本题满分14分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,ABDC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点。()证明:面PAD面PCD;()求AC与PB所成的角;()求面AMC与面BMC所成二面角的大小。20(本题满分13分)函数的最小值为且数列的前项和为 ()求数列的通项公式; ()若数列是等差数列,且,求非零常数; ()若,求数列的最大项21(本题满分14分)(1) 已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于两点, 为坐标原点, 求证: 为定
6、值;(2) 由 (1) 可知: 过抛物线的焦点的动直线 l 交抛物线于两点, 存在定点, 使得为定值. 请写出关于椭圆的类似结论,并给出证明.如东中学2007年高三数学模拟考试(3)参考答案1A 2C 3B 4C 5C 6B 7A 8B 9D 10B11 125 13 14 15 16 17解:记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.5,P(B)0.6,P(C)=0.9. - - - - - - - - - - - - -2分() 应聘者用方案一考试通过的概率 p1=P(AB)+P(BC)+P(AC)+P(ABC) =0.50.60.1+0.50.60.9+0.
7、50.40.9+0.50.60.9=0.03+0.27+0.18+0.27=0.75.- - - - - - - - - - - - -7分() 应聘者用方案二考试通过的概率 p2=P(AB)+P(BC)+ P(AC) =(0.50.6+0.60.9+0.50.9)=1.29=0.43 - - - - - - - - - - - - -12分18解:() ,要在1,上是增函数,则有在1,内恒成立,即在1,内恒成立, 又(当且仅当x=1时,取等号),所以()由题意知的一个根为,可得,所以的根为或 (舍去),又,f(x)在,上的最小值是,最大值是19本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的
8、有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.满分14分.方案一:()证明:PA面ABCD,CDAD,由三垂线定理得:CDPD.因而,CD与面PAD内两条相交直线AD,PD都垂直,CD面PAD.又CD面PCD,面PAD面PCD.()解:过点B作BE/CA,且BE=CA,则PBE是AC与PB所成的角.连结AE,可知AC=CB=BE=AE=,又AB=2,所以四边形ACBE为正方形. 由PA面ABCD得PEB=90在RtPEB中BE=,PB=, ()解:作ANCM,垂足为N,连结BN.在RtPAB中,AM=MB,又AC=CB,AMCBMC,BNCM,故ANB为所求二面角的平面
9、角.CBAC,由三垂线定理,得CBPC,在RtPCB中,CM=MB,所以CM=AM.在等腰三角形AMC中,ANMC=,. AB=2,故所求的二面角为方法二:因为PAPD,PAAB,ADAB,以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,.()证明:因由题设知ADDC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线,由此得DC面PAD.又DC在面PCD上,故面PAD面PCD.()解:因()解:在MC上取一点N(x,y,z),则存在使要使为所求二面角的平面角.20解:()由 , 由题
10、意知:的两根, (), 为等差数列, 经检验时,是等差数列, ()21 23(本小题满分14分)解: (1) 若直线l垂直于x轴, 则, .2分若直线l不垂直于轴, 设其方程为, .由4分.综上, 为定值. 6分(2) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值. 7分证明: 不妨设直线l过椭圆的右焦点其中若直线l不垂直于轴, 则设其方程为: , .由得: 所以9分由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为所以要使为定值, 只要即此时12分若直线l垂直于x轴, 则其方程为, , .取点有13分综上, 过焦点的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点使为定值. 14分9