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1、江苏省四星级示范高中淮安市洪泽县中学高三数学备课组 高考数学立几 解几14道押题1、已知直线与曲线交于两点A、B。 （1）设，当时，求点P的轨迹方程； （2）是否存在常数a，对任意，都有？如果存在，求出a的值如果不存在，说明理由。 （3）是否存在常数m，对任意，都有为常数？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由。解：（1）设，则 由消去y，得： 依题意有解得： 且，即或且 点P的坐标为：消去m，得： ，即 由，得 ，解得或 点P的轨迹方程为（或）5分 （2）假设存在这样的常数a 由消去y得： 解得： 当时，且方程判别式 对任意，A、B两点总存在，故当时，对任意，都有10分 （3）假设这样的
2、常数m存在，对任意的，使为一常数M。 即 即化简，得： a为任意正实数 ，即，矛盾。 故这样的常数m不存在。14分2已知四棱锥的底面是直角梯形，底面ABCD，是PB的中点.（I）证明：平面平面PCD；（II）求AC与PB所成的角；（III）求平面AMC与平面BMC所成角的大小.BMPDCA（I）证明：底面，由三垂线定理得，则平面PAD，平面平面PAD.（II）解：过点B作，且，则是AC与PB所成的角. 与底面ABCD所成的角. 则 又 是等腰直角三角形， 则 与PB所成的角为（III）解：作，垂足为N，连接BN.在直角中，又得则是所求二面角的平面角.，得面PAC，在直角中，所以在等腰中用等积变
3、换，则所求的二面角为3、已知定点A（0，1），B（0，1），C（1，0），动点P满足 （1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线。（2）当解：（1）设p(x，y) 则 由得 3分 整理得（*） 4分 当k=1时，*式化为x=1表示直线 5分 当k1时，*式化为 表示心为半径的圆 6分 （2）当k=2时，*式化为 此时， 其最小值为2，最大值为6 12分4如图，在长方体中，点E在棱AB上移动.（I）证明：；（II）若E为AB中点，求E到面的距离；（III）AE等于何值时，二面角的大小为EADCBA1B1C1D1（I）证明：（II）设点E到平面的距离为h，由题设可得 算得 则（III）过D作，
4、垂足为H，连则 为二面角的平面角. 设，在直角中， 在直角中，在直角中， 在直角中，在直角中， 因为以上各步步步可逆，所以当时，二面角的大小为5、设双曲线的两个焦点分别为，离心率为2。 （I）求此双曲线的渐近线的方程； （II）若A、B分别为上的点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点能否作出直线，使与双曲线交于P、Q两点，且。若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。解：（I） ，渐近线方程为4分 （II）设，AB的中点 则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为的椭圆。（9分） （III）假设存在满足条件的直线 设 由（i）（ii）得 k不
5、存在，即不存在满足条件的直线。14分6、如图，在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形，且PDa，PAPCa()求证：直线PD平面ABCD；()求二面角APBD的大小DBACPDBACPOE()证明： 在PDA中，ADa，PDa，PAa，) AD2PD2PA2，即 PDAD同理，PDCD (第19题)又AD、CD平面ABCD，ADCDD， 直线PD平面ABCD；()解：如图，连接AC和BD，设ACBDO由(I)知ACPD又 ACBD，且PD、BD平面PBD，PDBDD， 直线AC平面PBD过点O作OEPB，E为垂足，连接AE由三垂线定理知 AEPB， AEO为二面角APBD的平面角
6、 ABAD，由三垂线定理知 ABPA， 在PAB中，AEa，在ABD中，OAa，7、设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆和轴正半轴于，两点，且分向量所成的比为85（1）求椭圆的离心率；（2）若过三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆方程解：（1）设点其中由分所成的比为85，得，2分，4分而，5分由知6分（2）满足条件的圆心为，8分圆半径10分由圆与直线：相切得，又椭圆方程为12分8 如图,在底面是菱形的四棱锥PABCD中, 点E在PD上,且PE:ED= 2: 1. (1) 证明 PA平面ABCD;(2) 求以AC为棱,面EAC与面DAC所成的二面角的大小:(3) 在棱PC上是否存在
7、一点F, 使BF平面AEC?证明你的结论.9、过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。解法（一）：（1）设由得：3分直线PA的方程是：即 同理，直线PB的方程是： 由得：点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得： 10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直线PA、PB与抛物线相切，且直线PA、PB的斜率均存在且不为0，且设PA的直线方程是由得：即3分即直线PA的方程是：同理可得直线PB的方程是：由得：故点P的轨迹方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分10
8、、在直角梯形P1DCB中，P1DCB，CDP1D，P1D6，BC3，DC，A是P1D的中点，E是线段AB的中点，沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置，使二面角PCDB成45角(1) 求证PA平面ABCD；(2) 求平面PEC和平面PAD所成的二面角(锐角)的大小BCFEAPDNBCDAP1E证：(1)证：ABPA，ABADAB平面PAD 2分ABDC，DC平面PADDCPD DCADPDA为二面角PCDB的平面角4分故PDA45 PAAD3 PDA45， PAAD又PAAB ，PA平面ABCD6分 12分（2）：延长DA，CE交于点N，连结PN AE/CD 且E为AB中点 AECD AE
9、为NDC的中位线 ANADPA PND为Rt8分 又NEEC PE PNC为Rt，PCPN PDPN CPD为平面PEC和平面PAD所成二面角的平面角10分 又PD，CD，PDDC，tanCPD CPD30，即平面PEC和平面PAD所成二面角为3011、若F1、F2为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足 （1）求此双曲线的离心率； （2）若此双曲线过点，求双曲线方程； （3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B1，B2（B1在y轴正半轴上），点A，B在双曲线上，且时，直线AB的方程.解：（1）由知四边形PF1OM为平行四边形，又由知为菱形，设半焦距为c，由， （2
10、）双曲线方程为代入，有即所求双曲线方程为（3）依题意得B1（0，3），B2（0，3）.A、B2、B共线.设直线AB的方程为则由双曲线的渐近线为时，AB与双曲线只有一个交点，即 又故所求直线AB的方程为12、在平面直角坐标系中，已知（3，0）、（3，0）、P（x，y）、M（，0），若实数使向量、满足（1） 求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；（2） 当时，过点且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x9上找一点C，使为正三角形。解：（1）由已知可得1分即P点的轨迹方程是3分当且,即时，有P点的轨迹是椭圆。当时，方程为的轨迹是圆。，即时，方程为 P点的轨迹是双曲线。
11、，即时，方程为y0, P点的轨迹是直线。7分（2）过点且斜率为1的直线方程为yx38分当时，曲线方程为由得10分从而12分设C（9，y），因为是正三角形，即，无解，所以在直线x3上找不到点C，使是是正三角形14分13、如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，过BC1的平面BC1DAB1，平面BC1D交AC于D.（1）求证BD平面ACC1A1；（2）若二面角C1BDC等于60，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小.（结果用反三角函数表示）（1）连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，AB1平面BC1D，AB1平面AB1C，平面AB1C平面BC1D=DO，AB1DO，D是AC的中点，ABC是正三角形，BDAC，平面ACC1A1平面ABC，BD平面ACC1A1.（2）CC1平面ABC，且CDBD，C1DBD，C1DC是二面角C1BDC的平面角，C1DC=60，设正三棱柱底边长为2，则DC=1，CC1=，作DEBC于E，平面BCC1B1平面ABC，DE平面BCC1B1，作EFBC1于F，连结DF，则DFBC1，DFE是平面BC1D与平
