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1、江苏省南通市如东县拼茶中学2006年高考数学考前指导(小题)高考数学“小题”是指选择题、填空题，属于客观性试题。一方面具有题小、量大、基础、灵活、答案唯一（开放型填空题除外）等特点；另一方面具有比较明显的学科特点，即概念性强，量化突出，充满思辨性，形数兼备，解法多样化；是考查知识掌握程度和区分考生的能力层次、思维品质的重要题型，其分值约占全卷分值的53%（选择题33%，填空题20%）。用简缩的思维，快速、准确、灵活地得知结果，是每个考生希望达到的境界。解题的基本原则：小题不能大做，消除隐形失分。解题的基本策略：要充分利用题设和选项(或所求)提供的信息作出科学的判断，讲究“巧”字。解题的基本方法
2、：1.代入验证（见好就收）；2.特殊化方法（特殊值、特殊函数、特殊数列、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型）；3.排除法（筛选法、特殊值排除法）；4.数形结合法（图解法）；5.推理分析法（特征分析、逻辑分析）；6.估算、列举、归纳法；7.联想、类比、构造法；8.直接法。现结合实例加以说明。一、小题不能大做，消除隐形失分【例1】原市话资费为每3分钟0.18元，现调整为前3分钟资费为0.22元，超过3分钟的，每分钟按0.11元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（ ）A不会提高70% B会高于70%，但不会高于90%C不会低于10% D高于30%，但低于100%小题大做设一次通
3、话时间为x分钟，调整前话费为S1元，调整后话费为S2元，提价的百分率为y，则y 100%，列表如下（时间包尾计算）：x范围 (nN)S1S2yx0.180.2222.2%x0.18n0.180.220.11(3n1)30.33n100%x0.18n0.180.220.11(3n2)30.33n0.11100%x0.18n0.180.220.11(3n3)30.33n0.22100%根据表中计算结果：y 100%83.3%，取n1，对应于y 8.3%、22.2%、50.8%，故排除A、C、D，选B。小结这里运用了分类讨论和表格，进行建模、计算、排除，若是一道解答题，这样做是再好不过，遗憾的是选择
4、题，那如何“巧”做呢？！特殊值法取x4，y100%8.3%，排除C、D；取x30，y 100%77.2%，排除A，从而选B。类题1 设 ， p (x1 )2 (x2 )2 (xn )2，q (x1 a)2 (x2 a)2 (xn a)2，若 a，则一定有（ ）Apq Bpq Cpq D与a的值有关特殊化，n 1，p 0，q 0，选C，此为方差最小原理，如何证明？类题2在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，则 法一：取a3, b4, c5 ,则cosAcosC0, 法二：取ABC600 cosAcosC,类题3过抛物线yax2 (a0) 的焦点F作一直线交抛
5、物线于P、Q 两点，如果线段PF与FQ的长分别是p、q，则 A、2a B、 C、4a D、法一：取特殊情况，PQx轴,选C法二: 取特殊情况，PQy轴, 选C【例2】以双曲线 的左焦点F，左准线l为相应的焦点和准线的椭圆截直线ykx3所得的弦恰好被x轴平分，则k的取值范围是 。小题大做F（2，0），l：x ，可设椭圆 （ab0），与直线ykx3联立，消去y得：(b2a2k2)x2 2(b2x03a2k)x9a2a2b2 0，0时得 ，又直线ykx3与x轴交于点（ ，0），据题设知： ，解得x0 ，而椭圆中心O1（x0，0）在右焦点F的左侧，x0 2，解得0k。小结若简缩思维，抓住问题的本质：直
6、线与x轴的交点弦的中点椭圆的中心（为什么？），你有哪些科学的解法？解法一（特征分析法）：F（2，0），l：x ，根据椭圆的对称性知椭圆中心O1（ ，0），又 2，得0 k 。解法二作出椭圆（草图），注意到直线ykx3过定点M（0，3）及椭圆中心O1，知kOMk（0，）。类题1设球的半径为R, P、Q是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是，则这两点的球面距离是（ ）A、 B、 C、 D、分析：纬线弧长球面距离直线距离，排除A、B、D，选C类题2sin2180sin2540 ( )A、1 B、 C、 D、分析：，选B类题3，记数列an的前n项和为Sn，则使得Sn0的最小正整数n
7、的值是（ ）A、10 B、11 C、12 D、5分析：的图象关于点（5.5，0）对称，S100，选B二、读懂题目，审清题意一方面，审题是“快、准、活”解题的基础和前提；另一方面，阅读、理解能力是数学能力的重要部分，高考考查的力度逐年加大。【例3】根据图形的性质，写出一个重要不等式（化简后） 。错误答案出错原因f () 没有看到y 没有看到括号中“化简后” 没有看出图中“ba0”a2b2 2ab (a、bR)没有看出a、bR( ab )2 0化简过头，及忘记“重要”二字小结：出错的根本原因在于“读题”，对图形提供的信息和题目的要求没有全面、仔细、深刻地理解。类题1已知集合A直线，集合B圆，则AB
8、中元素个数是（ ）A、0 B、1 C、2 D、0或1或2误选D，错因：以为研究“位置关系”，没悟出AB，应选A类题2已知样本均值 5，样本方差S2100，若将所有的样本观察值都乘以 后，则新的样本均值和样本标准差S分别为（ ）A1，4 B1，2 C5，4 D25，2答案B。分别说出误选A、C、D的原因。类题3若e3x e1y e2且e1， e2不共线，则称（x，y）是e3以e1， e2为基底的坐标，在直角坐标系中，e1（1，0）， e2（，）， e3（，），则e3以e1， e2为基底的坐标为e3 e1 e2 （错解）类题4已知定点A（1，1）和直线l：xy20，则到定点A的距离与到定直线l的距
9、离相等的点的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D直线（错解：选C，错因：不知道隐含条件“Al”）类题5定义ak ai ai1 ai2 an ，其中i、nN，且in，若f (x) (1)k (3x)k ai x2003 i，则ak的值为（ ）A2 B0 C1 D2三、合理选择解法，力求巧做【例4】如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF与面AC的距离是2，且EF，则该多面体的体积为（ ）A B5 C6 D方法1（分割法特殊化）：VVEAMND VEMNFBC ；方法2（补形法特殊化）：VVGADFBCVEADG ；方法3（放缩法）：VVEABCD 232
10、 6，故选D。类题1函数f (x) Msin(x) (0) 在区间 a，b 上是增函数，且f (a) M，f (b) M，则函数g (x) Mcos (x)在区间 a，b 上（ ）A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值M D可以取得最小值M方法1（换元法）：令tx，xa，b，设t/2，/2即可排除A、B、D，选C；方法2（特殊化）：取M1，0，且a /2，b /2，满足题设；方法3（特殊化图解）：作出f (x) sinx、g (x) cos x x/2，/2 即知；方法4（分析法）：由题设可知 f (x)2 g (x)2 M2，且f (a) M，f (b) M，得g (a) g (b) 0，
11、排除A、B，又f (x)在 a，b 上递增，从而g(x)0，排除D，故选C。小结多种手段协同作战，如虎添翼，巧夺天工。类题2椭圆 的焦点F1、F2，点P是椭圆上动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 .方法1用焦半径公式，|PF1| 3 x0，|PF2| 3 x0，代入 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2 得x02 ，从而x0（ ，）；方法2用焦半径公式特殊化，|PF1| 3 x0，|PF2| 3 x0，代入 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2 得x02 ，从而xP（ ，）；方法3用焦半径公式椭圆定义，|PF1|2 |PF2|220(|PF1| |PF2|)220
12、 2|PF1|PF2| |PF1|PF2| 9 x02 8 x02 x0（ ，）；方法4构造圆x2y25，与椭圆 联立求得交点x02 x0（ ，）；方法5特殊化椭圆定义面积公式，20|PF1|2 |PF2|2(|PF1| |PF2|)2 2|PF1|PF2|， S |PF1|PF2| |y|，代入上式得|y| ，代入椭圆方程得x2 x0（ ，）；方法6参数法，设P（3cos，2sin），代入 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|2 得 cos2 ，得x0 3 cos（ ，）；开放（）椭圆 的焦点F1、F2，点P为椭圆上动点，连结PF1、PF2，试尽可能多地写出一些正确的论断： （1）a 3，b 2，c ，e ，p ； （2）焦点(，0)，准线x ；（3）|PF1| |PF2| 6； （4）P（x0，y0）；（5）|PF1| 3 x0，|PF2| 3 x0；（6）cosF1PF2 1； （7）S b2tan；（8）PF1x轴| PF1| ；
