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1、函 数 的 综 合 应 用教学目标：综合运用函数的知识、方法和思想解决问题。教学重点：如何运用函数思想实现问题的转化。教学难点：同重点。一、 知识梳理1、 函数与不等式、方程的联系；2、 函数与数列、向量、解几等知识的交汇。二、 训练反馈1、 定义运算 a*b=,则函数f(x)=1*2x的值域为_.2、 过点P(1,1)作曲线作曲线y=x3的两条切线，则它们夹角的正切值为( )A. B. C. D. 3、 若f(x)是R上的减函数，且f(0)=3,f(3)=-1,设P=x| |f(x+t)-1|2,Q=x| f(x) g(x)时,求函数的最小值. 本题主要考查向量基本概念、基本函数的性质。例2
2、（05上海）对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x) 、y=g(x), f(x)g(x) 当xDf且xDg 规定: 函数h(x)= f(x) 当xDf且xDg g(x) 当xDf且xDg(1) 若函数f(x)=-2x+3,x1; g(x)=x-2,xR,写出函数h(x)的解析式;(2) 求问题(1)中函数h(x)的最大值;(3) 若g(x)=f(x+), 其中是常数,且0,请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个的值,使得h(x)=cos2x,并予以证明.本题主要考查对函数概念的理解特别是分段函数的理解，把握函数的本质。5、 备选例题1.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x
3、=1对称，对任何x1、x2，都有f(x1, x2)=f(x1) f(x2),f(1)=a0。(1)求f()、f()；(2)证明：f(x)是周期函数；（3）证明：x时，均有f(x)0；(4)若an=f(2n+1+), bn=f(),nN+,求数列an与bn的通项公式。2.已知函数f(x)=()i. 证明：函数y=f(x)的图象关于点（a，-1）成中心对称图形；ii. 当xa+1,a+2时，求证：；iii. 利用函数y=f(x)构造一个数列xn,方法如下：对给定的定义域中的x1，令x2= f(x1), x3=f(x2),xn=f(xn-1),，在上述构造过程中，如果xi（i=2,3,4）在定义域中
4、，构造的过程将继续下去；否则将停止。（1）如果可以用上述方法构造出一个常数列 xn,求实数a的取值范围；（2）如果取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列 xn,求实数a的值。6、 综合运用1、若方程（）x+（）x-1+a=0有正数解，则实数a的取值范围是（ ）A.(-，1) B.（-，-2） C.（-3，-2） D.（-3，0）2、已知、为锐角，sin=x, sin=y, cos(+)=-,则y与x的函数关系式为（ ）A.y=-+x (0x1) B. Y=-+x (0x1) C. .y=-+x(0x) D. y=-x (0x1)3、已知直线y=x是曲线y=x3-3x2+
5、ax的切线，则a=_.4、已知y=f(x)与y=g(x)有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中的任何x,有f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且当x0时，g(x)1.则F(x)=+f(x) ( )A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数5、( 05全国卷III)设，则( )（A）-2x-1 （B）-3x-2 （C）-1x0 （D）0x0.求证：f()+f()+ f()f()。函数的综合应用参考答案训练与反馈、（，）、B、C、D、设x0是方程f(x)=x的一实根，则ff(x0)=f(x0)=x0,说明方程f(x)
6、=x的根均为ff(x)=x的根。要使ff(x)=0有四个不等实根，则必须f(x)=x有两个不等实根。（b-1）2-4ac0,其次，由ff(x)-x=af(x)2+bf(x)+c-1=af(x)2-af(x)x+af(x)x-ax2+bf(x)-x+f(x)-x=f(x)-xaf(x)+ax+b+1可得方程af(x)+ax+b+1=0亦必须有两个不等实根，即a2x2+a(b+1)x+(ac+b+1)=0有两个不等实根。a2(b-1)2-4ac-40 (b-1)2-4ac4ff(x)=x有个不等实根的必要条件为（b-1）2-4ac4.此条件也是充分的，因为若（b-1）2-4ac4,则f(x)=x与
7、af(x)+ax+b+1=0 均有两不等实根且无公共根，否则若x0为公共根，则x0= -代入f(x)=x得（b-1）2-4ac=4矛盾。故方程ff(x)=x有个不等实根的充要条件是（b-1）2-4ac4.典型例题例1解(1)由已知得A(,0),B(0,b),则=,b,于是=2,b=2. k=1,b=2. (2)由f(x) g(x),得x+2x2-x-6,即(x+2)(x-4)0, 得-2x0,则-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 的最小值是-3.例2解(1)h(x)= (-2x+3)(x-2) x1,+) x-2 x(-,1) (2) 当x1时, h(x)= (-2x+3)(x
8、-2)=-2x2+7x-6=-2(x-)2+h(x); 当x1时, h(x)0f()=a,f()=a.(2)由已知得f(1+x)=f(1-x)且f(-x)=f(x),f(x+2)=f1+(1+x)=f1-(1+x)=f(-x)=f(x) f(x)为周期函数，且为一个周期。(3)任取x0,1,0,则f(x)=f()20 f(x)为偶函数。对x-1,0,均有f(x)=f(-x)0又f(x)是以为周期的函数，则对任意xR,总存在kZ,使x-1+2k,1+2k,这时f(x)=f(x-2k)0.对一切xR,均有f(x)0.an=f(2n+1+)=f(1+)=f(1-)=f()=f() 而f(1)=f()=f() f()=a=a2.（1）设P()是y=f(x)图象上任一点，则点P 关于（a,-1）的对称点是P(2a-x0,-2-y0) 即点P在y=f(x)的图象上。函数y=f(x)的图象关于点（a,-1）成中心对称图形（2）f(x)+2f(x)+=,xa+1,a+2f(x)+2f(x) +0-2f(x)- (3)1由已知只需xa时，f(x)=x有实解，即有实解即有不等于a的解，则 a2由已知，应满足x时，无实数解，即时无实数解由于x=a不是方程的解，则对任意方程无实数解，故a=-1用心 爱心 专心
