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1、【专题二】分类讨论思想【考情分析】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。分类讨论是每年高考必考的内容，预测2013年高考对本专
2、题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。【知识归纳】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a0、a0、a
3、2时分a0、a0和a0) ，圆半径|ON|=1，|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|21，设点M的坐标为（x，y），则，整理得：，经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程。当=1时，方程化为 ，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点；当1时，方程化为，它表示圆，该圆圆心的坐标为 ，半径为。点评：本题在求出轨迹方程之后，在判定为何曲线时，因参数引起了分类讨论：一些问题中的数学表达式中因含有会导致不同结论的参数，从而需对参数分情况讨论，求得问题的结果。题型4：不等式中分类讨论问题例7解不等式0 (a为常数，a)分析：含参数的不等式，参数a决定了2a1的符号
4、和两根4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a0、a0、a0、a0时，a； 4a0 。所以分以下四种情况讨论：当a0时，(x4a)(x6a)0，解得：x6a；当a0时，x0，解得：x0；当a0，解得: x4a；当a时，(x4a)(x6a)0，解得： 6ax0时，x6a；当a0时，x0；当a0时，x4a；当a时，6ax0或a0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。题型5：数列中分类讨论问题例9（2012高考真题湖北理18）已知等差数列前三项的和为，前三项
5、的积为.（）求等差数列的通项公式；（）若，成等比数列，求数列的前项和.解析：（）设等差数列的公差为，则，由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得，或.故，或。（）当时，分别为，不成等比数列；当时，分别为，成等比数列，满足条件.故 记数列的前项和为.当时，；当时，；当时， . 当时，满足此式.综上， 点评：数列中的含参问题是一个需要牢记的分类推理过程，书写格式相对严格、规范。例10（2010四川理数）已知数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列；（）设cn(an+1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn。解：(1)由题意，零m2,n1,可得a32a2a126，再令m3,n1，可得a52a3a1820。(2)当nN *时，由已知(以n2代替m)可得：a2n3a2n12a2n18。于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8，即 bn1bn8。所以bn是公差为8的等差数列(3)由(1)(2)解答可知bn是首项为b1a3a16,公差为8的等差数列则bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得：an-(n1)2.那么an1an2n1
