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1、用心 爱心 专心 高三数学不等式的性质及证明 均值不等式及其应用高三数学不等式的性质及证明 均值不等式及其应用人教实验人教实验 B 版版 文 文 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 不等式的性质及证明 均值不等式及其应用 二 教学重点 不等式的性质及应用 三 课标要求 1 不等关系 通过具体情境 感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系 了解不等式 组 的实际背景 2 基本不等式 a b 0 探索并了解基本不等式的证明过程 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 四 命题走向 不等式历来是高考的重点内容 对于本讲来讲 考查有关不等式性质的基础知识 基 本方法 而且还考察逻辑推理能力
2、 分析问题 解决问题的能力 本讲内容在复习时 要 在思想方法上下功夫 预测 2008 年的高考命题趋势 1 把不等式的性质与函数 三角结合起来综合考查不等式的性质 函数单调性等 多以 选择题的形式出现 解答题以含参数的不等式的证明 求解为主 2 利用基本不等式解决像函数的单调性或解决有关最值问题是考 0 a x a xxf 查的重点和热点 应加强训练 五 教学过程 一 知识点回顾 1 不等式的性质 比较两实数大小的方法 求差比较法 0abab 0abab 0abab 定理 1 若 则 若 则 即 ab ba ba ab ab ba 说明 把不等式的左边和右边交换 所得不等式与原不等式异向 称为
3、不等式的对称 性 定理 2 若 且 则 ab bc ac 说明 此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数 定理 2 称为不等式的传递性 定理 3 若 则 ab acbc 用心 爱心 专心 说明 1 不等式的两边都加上同一个实数 所得不等式与原不等式同向 2 定理 3 的证明相当于比较与的大小 采用的是求差比较法 ac bc 3 定理 3 的逆命题也成立 4 不等式中任何一项改变符号后 可以把它从一边移到另一边 定理 3 推论 若 abcdacbd 且则 说明 1 推论的证明连续两次运用定理 3 然后由定理 2 证出 2 这一推论可以 推广到任意有限个同向不等式两边分别相加
4、即 两个或者更多个同向不等式两边分别相 加 所得不等式与原不等式同向 3 同向不等式 两个不等号方向相同的不等式 异向 不等式 两个不等号方向相反的不等式 定理 4 如果且 那么 如果且 那么 ba 0 cbcac ba 0 cbcac 推论 1 如果且 那么 0 ba0 dcbdac 说明 1 不等式两端乘以同一个正数 不等号方向不变 乘以同一个负数 不等号 方向改变 2 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘 所得不等式与原不等式同向 3 推论 可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘 这就是说 1 两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘 所得不等式与原不等式同
5、向 推论 2 如果 那么 0 ba nn ba 1 nNn且 定理 5 如果 那么 0 ba nn ba 1 nNn且 2 基本不等式 定理 1 如果 那么 当且仅当时取 Rba abba2 22 ba 说明 1 指出定理适用范围 2 强调取 的条件 Rba ba 定理 2 如果是正数 那么 当且仅当时取 ba ab ba 2 ba 说明 1 这个定理适用的范围 2 我们称的算术平均 a bR ba ba 2 为 数 称的几何平均数 即 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 baab 为 3 常用的证明不等式的方法 1 比较法 比较法证明不等式的一般步骤 作差 变形 判断 结论 为了判断
6、作差后的符号 有时要把这个差变形为一个常数 或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式 也可 变形为几个因式的积的形式 以便判断其正负 2 综合法 利用某些已经证明过的不等式 例如算术平均数与几何平均数的定理 和不等式的性 质 推导出所要证明的不等式 这个证明方法叫综合法 利用某些已经证明过的不等式和 不等式的性质时要注意它们各自成立的条件 综合法证明不等式的逻辑关系是 及从已知条件 12n ABBBB 出发 逐步推演不等式成立的必要条件 推导出所要证明的结论 AB 3 分析法 证明不等式时 有时可以从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备
7、的问题 如果能够肯定这些充分条件都已 具备 那么就可以断定原不等式成立 这种方法通常叫做分析法 分析法 是从求证的不等式出发 分析使这个不等式成立的充分条件 把证明不等 式转化为判定这些充分条件是否具备的问题 即 执果索因 综合过程有时正好是分析过程的逆推 所以常用分析法探索证明的途径 然后用综合 用心 爱心 专心 法的形式写出证明过程 4 几个重要的不等式 1 0 0 2 aaRa则若 2 当且仅当 a b 时 2222 2 2 2 abRababababab 若 则或 取等号 3 如果 a b 都是正数 那么 当且仅当 a b 时取等号 2 ab ab 最值定理 若则 x yRxyS xy
8、P 如果 P 是定值 那么当 x y 时 S 的值最小 如果 S 是定值 那么当 x y 时 P 的 值最大 注意 正 二定 三相等 如果没有满足前提 则应根据题目创设情境 还要注意 选择恰当的公式 和定积最大 积定和最小 可用来求最值 均值不等式具有放缩 功能 如果有多处用到 请注意每处取等的条件是否一致 典型例题典型例题 例 1 1 06 上海文 14 如果 那么 下列不等式中正确的是 0 0ab A B C D 11 ab ab 22 ab ab 2 06 江苏 8 设 a b c 是互不相等的正数 则下列等式中不恒成立的是 A B cbcaba a a a a 11 2 2 C D 2
9、 1 ba baaaaa 213 解 解 1 答案 A 显然 但无法判断与的大小 0 0ab ba ba 2 运用排除法 C 选项 当 a bb c d 则下列结论中正确的是 A a c b d B a c b d C ac bd D c b d a 2 1999 上海理 15 若 a b b 2均不能成立 a 1 ba 1 b 1 a 1 用心 爱心 专心 D 不等式和 a 2 b 2均不能成立 b 1 a 1 b 1 a 1 解 解 1 答案 A a b c d a c b d 2 答案 B 解 解 b0 a b a 又 a b 0 a 0 b 1 ba 1 故不成立 b 1 ba 1 a
10、 b b 故不成立 由此可选 B 1 1 ba 1 1 ba 另外 A 中成立 C 与 D 中 a 2 b 2成立 ba 11 b 1 a 1 其证明如下 a b 0 0 a b b ab 11 b 1 a 1 b 1 a 1 故 a 2 b 2 b 1 a 1 点评 点评 本题考查不等式的基本性质 例 3 06 浙江理 7 a b 0 是 ab 的 2 22 ba A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解解 A 中参数的取值不只是指可以取非负数 均值不等式满足 22 ba ab2 0 0 2 baab ba 点评点评 该题考查了基本不等式中的
11、易错点 例 4 1 2001 京春 若实数 a b 满足 a b 2 则 3a 3b的最小值是 A 18 B 6 C 2 D 23 4 3 2 2000 全国 7 若 a b 1 P Q lga lgb R lg ba lglg 2 1 则 2 ba A R P Q B P Q R C Q P RD P R Q 解解 1 答案 B 3a 3b 2 6 baba 3233 当且仅当 a b 1 时取等号 故 3a 3b的最小值是 6 2 答案 B lga lgb 0 lga lgb 即 Q P 2 1 ba lglg 又 a b 1 ab ba 2 用心 爱心 专心 lga lgb 2 1 ab
12、lg 2 ba lg 即 R Q 有 P Q R 选 B 点评 点评 本题考查不等式的平均值定理 要注意判断等号成立的条件 例 5 已知 a 0 b 0 且 a b 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 求证 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a b a 1 b 1 4 25 证一 证一 分析综合法 欲证原式 即证 4 ab 2 4 a2 b2 25ab 4 0 即证 4 ab
13、 2 33 ab 8 0 即证 ab 或 ab 8 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 4 1 a 0 b 0 a b 1 ab 8 不可能成立 1 a b 2 ab 从而得证 ab 4 1 证二 证二 比较法 a b 1 a 0 b 0 a b 2 ab ab 4 1 4 25 1 1 0 4 8 41 4 8334 4 2511 4 25 1 1 2222 b b a a ab abab ab abba b b a a b b a a 证三 证三 综合法 a b 1 a 0 b 0
14、a b 2 ab ab 4 1 2 2 2 25 1 1 139 1 125 16 11 1 144164 4 ab ab abab ab ab 4 25 1 1 b b a a即 点评 点评 比较法证不等式有作差 商 变形 判断三个步骤 变形的主要方向是因式分 解 配方 判断过程必须详细叙述 如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二 次式 则考虑用判别式法证 例 6 求使 a x 0 y 0 恒成立的 a 的最小值 yx yx 解一 解一 由于 a 的值为正数 将已知不等式两边平方 得 x y 2 a2 x y 即 2 a2 1 x y xyxy x y 0 x y 2 xy 当且仅当
15、 x y 时 中有等号成立 比较 得 a 的最小值满足 a2 1 1 a2 2 a 因 a 0 a 的最小值是 22 解二 解二 设 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 yx xy yx xyyx yx yx yx yx u 2 1 2 2 x 0 y 0 x y 2 当 x y 时 成立 xy 用心 爱心 专心 1 的最大值是 1 yx xy 2 yx xy 2 从而可知 u 的最大值为 211 又由已知 得 a u a 的最小值为 2 点评 点评 本题考查不等式证明 求最值函数思想
16、以及学生逻辑分析能力 该题实质是 给定条件求最值的题目 所求 a 的最值蕴含于恒成立的不等式中 因此需利用不等式的有 关性质把 a 呈现出来 等价转化的思想是解决题目的突破口 然后再利用函数思想和重要 不等式等求得最值 例 7 06 上海理 12 三个同学对问题 关于的不等式 25 5 在x 2 x 3 x 2 xax 1 12 上恒成立 求实数的取值范围 提出各自的解题思路 a 甲说 只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值 乙说 把不等式变形为左边含变量的函数 右边仅含常数 求函数的最值 x 丙说 把不等式两边看成关于的函数 作出函数图像 x 参考上述解题思路 你认为他们所讨论的问题的正确结论 即的取值范围是 a 答 答 a 10 点评 点评 该题通过设置情景 将不等式知识蕴含在一个对话情景里面 考查学生阅读 分析问题 解决问题的能力 例 8 07 上海理科 13 已知为非零实数 且 则下列命题成立的是 a bab A B C D 22 ab 22 a bab 22 11 aba b ba ab 答 答 C 点评 点评 本题考查不等式的基本性质 为基础题 例 9 1 07 浙江文科
