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1、高三数学不等式高考复习二：不等式的证明人教实验B版（理）【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式高考复习二：不等式的证明二. 教学目的掌握不等式证明的方法与技巧三. 教学重点、难点不等式的证明方法四. 知识分析【不等式证明的方法技巧】方法一用比较法证明不等式比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，包括作差法和作商法。作差法的一般步骤为“作差变形判断符号”。其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数、一个常数与几个平方和或几个因式的积的形式，当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，
2、则常用判别式法判断符号。作商法的一般步骤为“作商变形判断商与数1的大小关系”。一般地，证幂、指数不等式，常用作商法，证对数不等式，常用作差法。当“差”或“商”式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论。例 若，求证：。证明证法一：当时，=。，。，。若，则=。，。，故原不等式成立。证法二：此题也可用作商法。即，。方法二用综合法证明不等式用综合法证明不等式中所依赖的不等式主要是重要不等式。要掌握重要不等式及其变形形式，一般说来，当条件中信息量较大，不易于推理，或要证不等式与重要不等式相差较明显时，用综合法证明不等式。例 设、b、c，求证：。证明，。于是，同理，三式相加即得：。方法三用分析法证明
3、不等式用分析法证明不等式要把握三点： 1. 寻找使不等式成立的充分条件时，往往是先寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分。 2. 分析法和综合法要结合起来使用，也就是“两头凑”，会使问题较易解决。 3. 分析法的叙述较繁琐，且不易看懂，往往是用分析法探寻思路，用综合法叙述证明过程。一般来说，如果已知条件信息量较小，或已知与待证间的直接联系不明显，“距离”较大，用分析法来证明。例 已知正数a、b、c满足，求证：。证明要证，只需证，也就是只要证，两边都是非负数，只要证，也就是只要证，即只要证。，只需证。这就是已知条件，且以上各步都可逆，证得。方法四用反证法证明不等式用反证法证明不等
4、式，常从否定结论出发通过逻辑推理，导出矛盾，从而肯定命题成立。但要注意对结论的反面要一一否定，不能遗漏，方能得出原不等式成立。例 已知a、b、c，求证：、不能同时大于。证明证法一：假设三式同时大于即有，。三式同向相乘，得。又，同理，因此与假设矛盾，原命题正确。证法二：假设三式同时大于。，。同理都大于。三式相加，得，矛盾，原命题成立。方法五换元法证明不等式 1. 代换变换多以三角代换出现，把代数问题转化为三角函数问题，利用三角函数的性质，使问题得到证明。 2. 根据具体问题，实施的代换方法有：（1）若，可设。（2）若，可设。（3）对于，由或知，可设或。（4）对于，可设或。（5）对于，由或知，可设
5、或。（6）若，可设，。例 若，求证：。证明，所以可设且。=。方法六放缩法证明不等式例 设，当时，总有，求证：。证明，。又，。方法七判别式法证明不等式例 设，且。求证：。证明，而，、为方程的两实根，而，故方程有均大于c的两不等实根。设，则方法八用函数法证明不等式例 试证。证明令，令，在，单调递增，即。【典型例题】例1 若x、y、z，a、b、c，求证：。剖析：本小题考查运用比较法和综合法证明不等式。证明：证法一：，。证明二：=，。点悟：上述配方技巧的实现关键在于合理的分项。例2 已知0，。求证：。剖析：本小题考查综合法的应用。证明：证法一：。当且仅当时取“=”号。证法二：，。当且仅当时取“=”号。
6、点悟：在本题中，与取等号的条件是一致的，即，否则最终的等号不能取到。注意“1”的灵活运用。例3 已知a、b、m都是正数，并且，求证：。剖析：本小题考查不等式证明方法的灵活运用。证明：证法一：（商值比较法），从而，。证法二：（换元法）设，则。证法三；（函数单调性法）作辅助函数。函数在上单调递增，又，即。证法四：（放缩法）a、b、m，且，。点悟：该题证明方法多种多样，需在学习过程中熟练掌握、及时归纳。例4 （2004全国II）已知函数，。（1）求函数的最大值；（2）设，证明。剖析：本小题考查函数不等式的综合应用。解析：（1）函数的定义域为。令，解得。当时，；当时，。又，故当且仅当时，取得最大值，最
7、大值为0。（2）证法一：。由（1）结论知，由题设，得0，因此。又，。证法二：，设，则。当时，因此在上为减函数；当时，因此在上为增函数。当时，有极小值。=0，。设，则当。因此在上为减函数。，即。点悟：本题难度较大，它将函数、不等式、导数等知识融于一题，入手虽较易，但却不易得证。而利用第一问的结论来推证第二问的不等式是突破第二问的重要信息。【易错题剖析】易错题一 已知，求证：。解题思路：，故。失分警示：同学们常出现下面的错误证法：，以上三式相加得，从而证不出所要证的不等式。错误原因是三个等号同时成立的条件不具备。易错题二 已知a、b、c，求证：。解题思路：a、b、c，同理，+得，即。失分警示：误区
8、：a、b、c，又，得。上面的证明似乎天衣无缝，但细心者不难发现，在证明的过程中用到的论据之一“若0，则”是虚假的，事实上，举一反例就可发现它是一假命题，例如有，而。因此，原题的真实性仍无法判定。在不等式证明中，经常会出现与此题类似的错误，即用一个错误的命题去说明某个结论成立，这种证明显然没有意义，当然防止此错误的发生也并不是一件很简单的事情，要求对不等式的性质非常熟悉，才能做到证明时证据充足。易错题三 已知不等式对大于1的自然数n都成立，求证：实数a的取值范围为。解题思路：设，则。所以，即是关于的递增函数。所以，所以原不等式可化为。整理得解得，所以就是所求。失分警示：因为，所以原不等式为。化简
9、得解得。所以就是所求。上述解法由的放缩是不合理的，使不等式范围变大了。易错题四 设，n为偶数，证明：。解题思路：（1）当，时，。所以，故。（2）当、b有一个为负值时，不妨设0，且，所以。又n为偶数，所以，又，故，即综合（1）、（2）知原不等式成立。失分警示：误区：，因为为偶数，又和同号，故。n为偶数时，和不一定同号，这里忽略了在题设条件的情况下，应分0、和a、b中有一个负值两种情况加以讨论。【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1. 设P=(m2+1)(n2+4)，Q=(mn+2)2(mn)，则（ ）A.PQB.PQC.PQD.PQ 2. 已知为常数，且a与b为正数，则（ ） 3. 已知
10、ab0，则在下列不等式中不成立的是（ ）abbaaabb abbaaaba aabb ()ab1A. B. C. D. 4. 设，则a，b，c的大小关系是（ ） 5. 若0ab1，则（ ）A.a+b+B.a+b+C.a+b+D.a+b+ 6. 设且，则（ ） 7. 设，那么一定有（ ） 8. 设，且，若，则必有（ ） 9. 设mn，x=m4m3n，y=mn3n4，则x、y的大小关系为（ ）A.xyB.x=yC.xyD.与m、n的取值有关二、填空题 10. 若，且，则的最大值是_。11. 设a0，b0，c0，则的最小值为_. 12. 若且，给出四个式子：，其中代数式值最大的一个是_。 13. 设，若PQ，则实数a、b满足的条件是_。 14. 若，且，则x的取值范围是_。三、解答题 15. 设且，试比较与的大小。试题答案一、 1.A 2. B3.C 4. B5.B 6. A 7. B8. D9.A二、 10. 11. 6 12. 13. 或 14. 三、 15. 解析：（当且仅当时取等号）当时，即当时，即用心 爱心 专心
