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1、2010年普通高等学校招生柳州铁一中5月份月考考试卷 理科数学（必修+选修）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷2至4页考试结束后，将答题卡交回 第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A1，2，B0，3，若，则实数的值为 A1 B1 C1 D02.函数的反函数是A B C D3.在平面直角坐标系中，i，j分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，O为坐标原点，设向量2ij，3ikj，若A，O，B三点不共线，且AOB有一个内角为直角，则实数k的所有可能取值的个数是 A1 B2 C3 D44.函
2、数的最大值是 A B C D5.某一批袋装大米，质量服从正态分布N(10,0.01)(单位：kg)，任选一袋大米，它的质量是9.810.2 kg内的概率为(已知(1)0.841 3，(2)0.977 2)A.0.841 3 B.0.954 4C.0.977 2 D.0.682 66.到椭圆右焦点的距离与到定直线距离相等的动点轨迹方程是 A B C D7.设等差数列的前项和为，已知，则 A2008 B2008 C2010 D20108.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有A.24种 B.48种
3、 C.96种 D.144种9.已知函数在点(1,0)处切线经过椭圆的右焦点，则椭圆两准线间的距离为A.6 B.8 C.10 D.1810.如图，平面平面，=直线，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点下列判断正确的是5月份月考数学（理） 试卷第1页，共4页A当时，两点不可能重合B两点可能重合，但此时直线与不可能相交C当与相交，直线平行于时，直线可以与相交D当是异面直线时，直线可能与平行11.图中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成设函数是图中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为12. 已知函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实
4、数的取值范围是A.(，1) B.(0,1) C.(，1 D.0，)第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13设复数，若复数z在复平面上对应的点在第一象限，则实数的取值范围是 14已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为，则 15如图，正六边形ABCDEF的两个顶点A、D为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是 16根据三角恒等变换，可得如下等式：依次规律，猜测，其中 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）已知在ABC中，角A，B，C的对边为向量，且
5、(1)求角C的大小；(2)若，求的值18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）举世瞩目的中国2010年上海世界博览会开幕式4月30日晚在上海世博文化中心隆重举行，夜幕降临，浦江两岸华灯璀璨，世博园内流光溢彩。造型宛如飞碟的上海世博文化中心内，8000多名观众欢聚一堂，热切期待盛会开幕时刻的到来。现开幕式上有一种舞台灯，外形是正六棱柱，在其每一个侧面(编号为)上安装5只颜色各异的灯，假若每只灯正常发光的概率为0.5，若一个侧面上至少有3只灯发光，则不需要更换这个面，否则需要更换这个面，假定更换一个面需要100元，用表示更换的面数，用表示更换费用。(1)求号面需要更换的概率；(2)求6
6、个面中恰好有2个面需要更换的概率；(3)写出的分布列，求的数学期望.19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）PCBMA如图，PC平面ABC，PMCB，ACB120，PMAC1，BC2，异面直线AM与直线PC所成的角为60.（1）求二面角MACB大小的正切值；（2）求三棱锥PMAC的体积.20.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）若数列满足，其中为常数，则称数列为等方差数列.已知等方差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）记，则当实数时，不等式能否对于一切的恒成立？请说明理由.21.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）已知椭圆的方程为
7、，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件（1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离；（2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值22.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）给出定义在(0，)上的三个函数：，已知在x1处取极值.（1）确定函数的单调性；（2）求证：当时，恒有成立；（3）把函数的图象向上平移6个单位得到函数的图象，试确定函数的零点个数，并说明理由.2010年普通高等学校招生柳州铁一中5月份月考试卷答案一、选择题题号123456789101112答案CBBDBACCCBCA二、填空题13、 14、 15、 16、-30三、解答题
8、17、解：（1）由得 即，解得（舍）或.因为，所以5分 （2）因为.由正弦定理和余弦定理可得代入上式得又因为,故10分18、解：(1)因为号面不需要更换的概率为： 所以号面需要更换的概率为： 3分 (2)根据独立重复试验，6个面中恰好有2个面需要更换的概率为： P6(2)=6分 (3)因为，又P6(0)=，P6(1)= ，P6(2)= ，P6(3)= ，P6(4)= ，P6(5)= ，P6(6)= 。的分布列为：0123456P=100，E=100E=300 12分19、解：方法一：（1）取BC的中点N，连结MN.由已知，PMCN，则MNPC，所以MN平面ABC.过点N作NHAC，交AC的延长
9、线于H，连结MH，由三垂线定理知，ACMH.所以MHN为二面角MACB的平面角.连结AN，在ACN中，由余弦定理，得.由已知AMN60，在RtANM中，.在RtCHN中，. PCBNMHA在RtMNH中，. 故二面角MACB的正切值是. 6分 （2）因为四边形PCNM为正方形，MN平面ABC，则. 12分 方法二：（）在平面ABC内，过点C作CB的垂线，PCBxMyAy按如图所示建立空间直角坐标系. 设点，由已知可得，点，则.因为直线AM与直线PC所成的角为60，则，即.解得z01，从而. 设平面MAC的一个法向量为n，则，即.取，则n. 又m(0，0，1)为平面ABC的一个法向量，设向量m与
10、n的夹角为，则.从而. 显然，二面角MACB的平面角为锐角，故二面角MACB的正切值是. 6分（）因为a(1，0，0)为平面PCM的一个法向量，则点A到平面PCM的距离. 又PCPM1，则. (12分)20、解：（1）由得 4分（2）设 + 则-得： 8分（3）法一：，不等式恒成立，即对一切恒成立。设，当时，由于对称轴，且，而函数在是增函数，所以不等式不等式恒成立，即当实数时，不等式对于一切的恒成立。法二：，不等式恒成立，即对一切恒成立，所以 ，而，故当实数时，不等式对于一切的恒成立。12分21、解：（1）由题意得 解得 椭圆方程为： 2分直线的方程为，其一个法向量，设点B的坐标为，由及 得
11、到直线的距离为 5分（2）由（1）知，点B是椭圆上到直线的距离为1的点，即与直线的距离为1的二条平行线与椭圆恰好有三个交点。 设与直线平行的直线方程为由得，即当时， ， 又由两平行线间的距离为1，可得把代入得，即，即，或 当时，代入得，代回得或 当，时，由知此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不合题意；当时，代入得，代回得或当，时，由知此时两平行线和，与椭圆有三个交点， 12分22、（1）由题设，则. 由已知，即. 于是，则.由， 所以h(x)在(1，+)上是增函数，在(0，1)上是减函数. 4分（2）当时，即. 欲证，只需证，即证. 设，则.当时，所以在区间(1，e2)上为增函数. 从而当时，即，故. 8分（3）由题设，.令，则xyO46h2(x)h3(x)1，即. 设，则，由，得x4.所以在(4，)上是增函数，在(0，4)上是减函数. 又在(0，)上是增函数，在(，)上是减函数.因为当x0时，.又，则函数与的大致图象如图：
