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1、 抛物线及其标准方程【基础知识精讲】1.定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.F是焦点，l为准线.圆锥曲线可统一定义为：平面内与一定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹，当0e1时，表示椭圆；当e1时，表示双曲线；当e=1时，表示抛物线.2.标准方程和图形、焦点坐标及准线方程焦点的位置图 形方程焦点准线焦点在x正半轴y2=2px(p0)(,0)x=-焦点在x负半轴y2=-2px(p0)(-,0)x=焦点在y正半轴x2=2py(p0)(0, )y=-焦点在y负半轴x2=-2py(p0)(0,- )y=注：抛物线的标准方程中一次项变量及它的系数的符号决定抛物线的开
2、口方向，其焦点的非零坐标为一次项变量的系数的.3.抛物线的焦半径抛物线y2=2px（p0）上任一点M(x0，y0)到焦点的距离等于到准线的距离且为x0+.其它三种不同形式同学们自己给出.本节学习要求：学习抛物线及其标准方程，如何利用已知的抛物线方程研究其性质，以及已知某些性质求抛物线的方程是考查的重点.主要方法有轨迹法、定义法、待定系数法等.本节内容也充满运动变化的思想.学习本节内容要注意如何利用运动变化的观点思考问题，如何利用数学研究运动变化着现实世界，以提高分析问题和解决问题的能力.【重点难点解析】1.学习抛物线及其标准方程可以像学习椭圆、双曲线一样从画图开始，也可以直接从第8.2节例4及
3、第8.4节例3引入，这样定义抛物线，便于导出它的标准方程，也可以一开始就看到抛物线和椭圆、双曲线之间的联系.2.本节重点是抛物线的定义及有关概念、抛物线的四种位置、四种标准方程、焦点坐标、准线方程.难点是分清标准方程的四种不同形式及抛物线的应用.例1 在抛物线y2=12x上，求与焦点的距离等于9的点的坐标.分析 由方程y2=12x 得F(3，0)，准线l:x=-3，设所求点为P(x,y),则由定义知PF=x+3 又PF=9x+3=9x=6代入y2=12x 得 y=6故所求点为(6，6)，(6，-6)例2 已知顶点在原点、焦点在坐标轴上的抛物线被直线l:y=2x+1截得的弦长为，求抛物线方程：分
4、析 (1)设抛物线方程为y2=2ax(a0),将y=2x+1代入抛物线方程y2=2ax得4x2+(4-2a)x+1=0设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2)则AB=解得a=6或-2.(2)设抛物线方程为x2=2my(m0)同理求得：m=或m=-综上所述，所求抛物线方程为y2=12x,y2=-4x,x2=y,x2=-y.【难题巧解点拨】例1 如果抛物线y2=px和圆(x-2)2+y2=3相交，它们在x轴上方的交点为A、B，那么当p为何值时，线段AB的中点M在直线y=x上?分析 设交点A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),中点M(x0,y0),把y2=px代入圆方程(x-2)2+
5、y2=3得x2+(p-4)x+1=0 x1+x2=4-p,x1x2=1x0=A、B在x轴上方y1+y2= =y1+y2=,从而y0=点M在直线y=x上 y0=x0=即 p2-7p+8=0解得：p=4-p0 p=不合题意p=例2 过抛物线y2=2px(p0)的焦点F，引两条相互垂直的弦AC、BD，求四边形ABCD面积的最小值.分析 AC、BD是焦点弦，又ACBD，故四边形面积 S=ACBD.设AC所在的直线方程为y=k(x-),代入抛物线方程得：4k2x2-4p(k2+2)x+p2k2=0且设A(x1,y1),C(x2,y2)AC=x1+x2+p=设BD所在直线方程为y=-(x-),且设B(x3
6、,y3),D(x4,y4),由 消去y得4(-)2x2-4p(-)2+2x+p2(-)2=0，则BD=x3+x4+p=2p(k2+1).四边形的面积S=ACBD=2p2(2+k2+)2p2(2+2)=8p2.当且仅当k2= 即k=1，四边形的面积最小，最小值为8p2.【典型热点考题】例1 直线l1和l2相交于M，l1l2，点Nl1，以A，B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形，AM=，AN=3，且BN=6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程.分析 建立如图所示直角坐标系，由题意可知曲线段C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段因此可用待定系数法及它的方程为
7、y2=2px(p0,待定)(xAxxB,y0)其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p=MN.所以M、N的坐标为M(-,0)，N(，0)，由点A在曲线C上，|AM|=,|AN|=3，得解得或因为AMN是锐角三角形，xA 由点B在曲线段C上，得xB=BN-=4.所以所求的曲线段C的方程是y2=8x(1x4,y0).例2 已知抛物线y2=2px(p0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，AB2p.()求a的取值范围.()若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求RtNAB面积的最大值.分析 ()直线方程为y=x-a,将y=x-a代入y2=2px,得x2-2(a+p)x+
8、a2=0设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),AB=0AB2p,8p(p+2a)0，02p,解得-a-()设AB的垂直平分线交AB于点Q，令其坐标为(x0,y0),由中点坐标公式有QM=p又MNQ为等腰直角三角形，QN=QM=pSNAB=ABQN=pABp2p=p2即NAB面积的最大值为p2.【同步达纲练习】A级一、选择题1.抛物线y=-x2的准线方程是( )A.x=B.x=C.y=2D.y=42.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k等于( )A.0 B.1 C.2 D.33.直线和抛物线有且仅有一个公共点是直线和抛物线
9、相切的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若点P到点F(4,0)的距离比它到定直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是( )A.y2=-16xB.y2=-32xC.y2=16xD.y2=32x5.抛物线y2=2px上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线距离是( )A.4 B.8 C.16 D.32二、填空题6.抛物线y2=8x关于直线y=x对称的曲线方程是 .7.抛物线y=4x2上到直线y=4x-5的距离最近的点的坐标是 .8.P(x1,y1),P2(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦的两端，则y1y2= .三、解答
10、题9.已知抛物线y=ax2-1上恒有关于直线x+y=0对称的相异两点，求a的取值范围.10.已知A、B是抛物线y2=2px(p0)上的两点，且OAOB(O为坐标原点)，求证：(1)A、B两点的横坐标之积为定值；(2)直线AB经过定点.AA级一、选择题1.已知P(x0,y0)是抛物线y2=2mx上的任意一点，则点P到焦点的距离是( )A.x0- B.x0+C.x0-mD.x0+m2.过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B两点在抛物线的准线上的射影是A1、B1，则A1FB1等于( )A.45 B.60 C.90 D.1203.过抛物线y2=4x的焦点F作直线，交抛物线于A(x1,y
11、1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则AB等于( )A.4B.6C.8D.104.动点P在曲线y=2x2+1上移动，则点P和定点A(0，-1)连线的中点的轨迹方程是( )A.y=2x2B.y=4x2C.y=6x2D.y=8x25.F是抛物线y2=2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3，1)是定点，则PF+PA的最小值是( )A.2B.C.3D.二、填空题6.若(4，m)是抛物线y2=2px上的一点，F是抛物线的焦点，且PF=5,则抛物线的方程是 .7.抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点F的距离之和是5，则线段AB的中点M的横坐标是 .8.若抛物线y2-mx-2y+4m+1=0的准线
12、与双曲线-=1的右准线重合，则m的值是 .三、解答题9.已知椭圆+y2=1的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p0)与椭圆在第一象限的交点为Q，若F1QF2=60，(1)求F1QF2的面积；(2)求此抛物线的方程.10.已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若A(-1，0)，B(0，8)关于直线l对称的点都在C上，求直线l和抛物线C的方程.【素质优化训练】一、选择题1.抛物线y=2ax2(a0)的焦点坐标是( )A.( ,0)B.(0, )C.( ,0)D.(0, )2.长度为4的线段AB的两个端点A、B都在抛物线x2=4y上，则线段AB的中点M的纵坐标的最小值为(
13、)A. B.1C.2D.43.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0最近的点的坐标是( )A.(，)B.(1，1)C.(，)D.(2，4)4.已知抛物线y2=2px(p0)上有一点M(4,y)，它到焦点F的距离为5，则OFM的面积(O为原点)为( )A.1B. C.2D.25.若点P在抛物线y2=x上，点Q在圆(x-3)2+y2=1上，则PQ的最小值等于( )A. -1B.-1C.2D.(-2)二、填空题6.已知抛物线y2=4ax(a0)上一点A(m,n)到焦点F的距离为4a，则m=,n=.7.抛物线y2=16x上的一点P到x轴的距离为12，则P与焦点F间的距离PF= ；8.定点A(3，2)是抛物线y2=2px(p0)内部的一点，F是抛物线的焦点，点Q在抛物线上移动，已知AQ+QF的最小值为4，则P= .三、解答题9.设抛物线y2=2px(p0)的弦PQ交x轴于点R，过P、Q分别作
