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1、巧用对称 优化解题http:/www.DearEDU.com李忠贵 对称，顾名思义，就是两个事物（或同一事物的两个方面）相对而又相称。如果A、B是具有对称性的两个事物（或同一事物的两个方面），那么把A、B交换顺序，其结果不变，这就是对称原理。纵观近年来的高考，笔者发现不少试题隐藏着对称性，在解答它们时，若能挖掘潜在的对称性，充分利用对称原理求解，则能在纷繁的困惑中求得简捷的突破，获得问题的最优解。 一、利用函数图像中的对称性 例1 （2005年全国高考江苏卷）函数的反函数的解析式（ ） A. B. C. D. 解析：由互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称知，若A（a,b）在函数y=f(x
2、)的图像上，则点必在其反函数图像上；反之亦成立。观察结构，知其图像过点（1，4），因此反函数必过点（4，1），只有（A）满足（4，1）的坐标，故选（A）。 例2 （2005年江苏高考模拟题）如果函数对任意实数t都有，那么（ ） A. B. C. D. 解析：由知，二次函数f(x)的图像关于x=2对称 所以f(x)在2，）上是增函数 因为f(1)=f(3)且f(2)f(3)f(4) 所以 故选A 评注一：直接求其反函数虽也能做对，但属于小题大做，相当于隐性失分。 评注二：（1）的图像关于原点对称； （2）y=f(x)是偶函数f(x)的图像关于y轴对称； （3）y=f(x)与的图像关于直线y=x对
3、称； （4）若，则f(x)图像关于直线x=a对称等这些性质是挖掘对称性的重要依据。 二、利用数列中项的对称性 例3 （2000年北京春招）已知等差数列，则有（ ） A. B. C. D. 解析：因为是等差数列 所以 所以 又因为 所以 故选（C） 例4 （1992年全国高考题）设等差数列的前项和为，已知， （I）求出公差d的取值范围； （II）指出中哪一个值最大，并说明理由。 解析：（I）（解答略） （II）由等差数列的对称性，得 又由（I）知，为递减数列，故最大。 评注：等差（比）数列的项具有对称性，当时，有。利用此结论解题，可简化运算环节。 三、利用数列中隐含的对称关系 例5 （2005年
4、高考复习题）已知的值。 解析：因为 所以原式。 评注：直接代入显然计算太繁，若找出隐含的一组基本对称式，问题便简捷得多。 例6 （2004年江苏数学竞赛题）已知方程组，有唯一的一组解（x,y,z），求实数m及原方程组的解。 解析：方程组是关于x,y对称的，若（x,y,z）是一组解，则（y,x,z）显然也是方程组的一组解。由方程组有唯一解知x=y。故原方程组可化为，消去z得。 由=0得 故原方程组的解是 评注：某些数学命题所涉及的数式是呈现对称的结构，若能围绕它展开联想性思维，则能帮助我们发现解题捷径。 四、利用图形中隐含的对称性 例7 （1992年高考题）已知椭圆，A、B是椭圆上的两点，线段A
5、B的垂直一部分线与x轴相交于点P（，0），证明。 证明：设弦AB的中点为M（m,n）（n0），作椭圆 关于点M对称的椭圆，则其方程为 因为AB使两椭圆的公共弦，所以由即可得AB所在直线方程为。 若m=0，则，结论显然成立； 若m0，则由题意得 又因为，因为点M在椭圆内，所以，故原命题得证。 评注：这是一道灵活性较强的压轴题，按标准卷上的方法证明，过程曲折，运算繁复。而利用“曲线对称性法”来推证，技高一筹，别具一格。 五、利用排列中元素位置的对称性 例8 （2005年广东高考模拟题）A、B、C、D、E、F六个人并排站成一列，若C必须在B的左边（B、C可以不相邻），则不同的排法有多少种？ 解：对六个人的全排列仅有两种情形：C在B的左边或C在B的右边，而这两种情形的机会均等，故由对称性原理得所求排列数为种。 总之，在解题数学中，教师要引导同学用对称的眼光去审视问题，深入挖掘题中潜在的对称性，不仅为解决数学问题提供一种新的捷径，而能让学生体会数学的对称美。使学生在“美”的情境中，激发学习兴趣，发展思维能力，增强创新意识。用心 爱心 专心 119号编辑 4
