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1、高一数学竞赛培训教材 (一)集合与容斥原理集合是一种基本数学语言、一种基本数学工具。它不仅是高中数学的第一课，而且是整个数学的基础。对集合的理解和掌握不能仅仅停留在高中数学起始课的水平上，而要随着数学学习的进程而不断深化，自觉使用集合语言(术语与符号)来表示各种数学名词，主动使用集合工具来表示各种数量关系。如用集合表示空间的线面及其关系，表示平面轨迹及其关系、表示方程(组)或不等式(组)的解、表示充要条件，描述排列组合，用集合的性质进行组合计数等。一、学习集合要抓住元素这个关键例1设AXX=a2+b2,a、bZ，X1，X2A，求证：X1X2A。分析：A中的元素是自然数，即由两个整数a、b的平方
2、和构成的自然数，亦即从0、1、4、9、16、25，n2，中任取两个(相同或不相同)数加起来得到的一个和数，本题要证明的是：两个这样的数的乘积一定还可以拆成两个自然数的平方和的形式，即(a2+b2)(c2+d2)=(M)2+(N)2，M,NZ证明：设X1a2+b2，X2=c2+d2，a、b、c、dZ.则X1X2(a2+b2)(c2+d2)a2c2+b2d2+b2c2+a2d2a2c2+2acbd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2(ac+bd)2+(bc-ad)2又a、b、c、dZ，故ac+bd、bc-adZ，从而X1X2A练习:1.设两个集合S=x|x=12m+8n,m,nZ,T=x|x
3、=20p+16q,p,qZ.求证：S=T。2.设M=a|a= x2-y2,x,yZ.求证：（1）一切奇数属于M;（2）4k-2(kZ)不属于M;（3）M中任意两个数的积仍属于M。3.已知函数f（x）=x2+ax+b,a,bR,且A=x|x=f(x),B=x|x=ff(x).(1)求证:AB;(2)若A=-1，3时，求集合B.二、集合中待定元素的确定例2已知集合MX，XY，lg(xy)，S0，X，Y，且MS，则(X1/Y)(X21/Y2)(X20021/Y2002)的值等于().分析：解题的关键在于求出X和Y的值，而X和Y分别是集合M与S中的元素。这一类根据集合的关系反过来确定集合元素的问题，要
4、求我们要对集合元素的基本性质即确定性、异性、无序性及集合之间的基本关系(子、全、补、交、异、空、等)有本质的理解，对于两个相等的有限集合(数集)，还会用到它们的简单性质：(a)相等两集合的元素个数相等；(b)相等两集合的元素之和相等；(c)相等两集合的元素之积相等.解：由MS知，两集合元素完全相同。这样，M中必有一个元素为0，又由对数的性质知，0和负数没有对数，所以XY0，故X，Y均不为零，所以只能有lg(XY)0，从而XY1.MX，1，0，S0，X，1/X.再由两集合相等知当X1时，M1,1，0，S0,1，1，这与同一个集合中元素的互异性矛盾，故X1不满足题目要求；当X1时，M1,1，0，S
5、0,1，1，MS，从而X1满足题目要求，此时Y1，于是X2K11/Y2K12(K0,1，2，)，X2K1/Y2K2(K1,2，),故所求代数式的值为0.练习:4.已知集合，其中是正整数，且，并满足，中的所有元素之和为234，求集合A。三容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)问题：开运动会时，高一某班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛
6、和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？设A参加游泳比赛的同学，B参加田径比赛的同学，C参加球类比赛的同学,则card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(ABC)=28,且card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0,由公式得281581433card(BC)+0,即card(BC)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有3人，而只参加游泳比赛的人有15339(人) 四、有限集合子集的个数例3一个集合含有10个互不相同的两位数。试证，这
7、个集合必有2个无公共元素的子集合，此两子集的各数之和相等。分析：两位数共有10,11，,99，计99990个，最大的10个两位数依次是90,91，,99，其和为945，因此，由10个两位数组成的任意一个集合中，其任一个子集中各元素之和都不会超过945，而它的非空子集却有21011023个，这是解决问题的突破口。解：已知集合含有10个不同的两位数，因它含有10个元素，故必有2101024个子集，其中非空子集有1023个，每一个子集内各数之和都不超过909198999450fmin=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a)fmax=maxf(p),f(q)fmin=minf(p),f(q)fma
8、x=maxf(p),f(q)a0fmax=f(-b/2a)=(4ac-b2)/4a)fmin=minf(p),f(q)例1. 当x为何值时，函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。解：f(x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2) 当x=(a1+a2+an)/n时，f(x)有最小值.例2.已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0的两个实数根，x12+x22的最大值是_.解：由韦达定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5.x1
9、2x22（x1x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5=-k2-10k-6=-(k+5)2+19 .已知x1,x2是方程的两个实根，即方程有实数根，此时方程的判别式0，即(k-2)2-4(k2+3k+5) =-3k2-16k-160 解得：-4k-4/3.k=-5-4,-4/3，设f(k)=-(k+5)2+19则f(-4)=18,f(-4/3)=50/918.当k=-4时，(x12+x22)max=18.例3.已知f(x)=x2-2x+2，在xt,t+1上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式。 解：f(x)=(x-1)2+1 (1)当t+11即t1时，g(t)=f(t)=t2-
10、2t+2 综合（1）、（2）、（3）得：例4（1）当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值；（2）当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。 解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6) 又1-x2=2y20，x21，1x1 .当x=2/3时，y=(10)/6，（2x+3y2）max=16/3； 当x=-1时，y=0，（2x+3y2）min=2 (2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又y
11、2=(3/2)x (2-x)0，得0x2.当x=2，y=0时，（x2+y2）max=4；当x=0，y=0时，(x2+y2)min=0 三、二次函数与二次方程设f(x)=ax2+bx+c(a0)的二实根为x1,x2，(x1x2)，=b2-4ac，且、()是预先给定的两个实数。1当两根都在区间(,)内，方程系数所满足的充要条件x1x2，对应的二次函数f(x)的图象有下列两种情形当a0时的充要条件是：0，-b/2a，f()0，f()0 当a0时的充要条件是：0，-b/2a，f()0，f()0 两种情形合并后的充要条件是：0，-b/2a，af()0，af()02当两根中有且仅有一根在区间（，）内，方程系数所满足的充要条件x1或x2，对应的函数f(x)的图象有下列四种情形从四种情形得充要条件是：f()f()03当两根都不在区间，内方程系数所满足的充要条件（1）两根分别在区间，之外的两旁时x1x2，对应的函数f(x)的图象有下列两种情形（2）两根分别在区间，之外的同旁时x1
