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1、高一数学空间中的垂直关系人教实验B版【本讲教育信息】一. 教学内容：空间中的垂直关系二、学习目标1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题；3、在研究垂直问题时，要善于应用“转化”和“降维”的思想，通过线线、线面、面面平行与垂直关系的转化，从而使问题获得解决。三、知识要点1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。2、直线与平面垂直的判定：常用方法有：判定定理： . b, aba；（线面垂直性质定理）,
2、aa（面面平行性质定理），=l，al，aa（面面垂直性质定理）3、直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a，bab）直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（）4、点到平面的距离的定义： 从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。5、平面与平面垂直的定义及判定定理：（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线
3、互相垂直，就说这两个平面互相垂直。记作：平面平面（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（简称：线面垂直，面面垂直）6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。）思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是一种办法。【典型例题】例1、（1）对于直线m、n和平面、，的一个充分条件是（ ）A、mn，m，n B、mn，=m，nC、mn，n，m D、mn，n，m（2）设a、b是异面直线，给出下列命题：经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b；经过直线a
4、有且仅有一个平面垂直于直线b；存在分别经过直线a和b的两个平行平面；存在分别经过直线a和b的两个平面互相垂直。其中错误的命题为（ ）A、与 B、与 C、与 D、仅（3）已知平面平面，m是内一条直线，n是内一条直线，且mn，那么，甲：m；乙：n丙：m或n；丁：m且n。这四个结论中，不正确的三个是（ ）解：（1）对于A，平面与可以平行，也可以相交，但不垂直。对B，平面内直线n垂直于两个平面的交线m，直线n与平面不一定垂直，平面、也不一定垂直。对D，m，mn则n，又n，所以。只有C正确，mn，n则m又m，由平面与平面垂直的判定定理得。故选C。（2）正确，过a上任一点作b的平行线b，则ab确定唯一平面
5、。错误，假设成立则b该平面，而a该平面，ab，但a、b异面却不一定垂直。正确，分别过a、b上的任一点作b、a的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅错误 选D（3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或n），在另一平面作交线的垂线n（或m）即可推翻甲、乙、丁三项。思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。例2、如图，ABCD 为直角梯形，DAB=ABC=90，AB=BC=a，AD=2a，PA平面ABCD。PA=a。（1）求证：PCCD。（2）求点B到直线PC的距离。（1）证明：取AD的中点
6、E，连AC、CE，则ABCE为正方形，CED为等腰直角三角形， AC CD，PA平面ABCD，AC为PC在平面ABCD上的射影， PCCD （2）解：连BE，交AC于O，则BEAC，又BEPA，ACPA= A， BE平面PAC过O作OHPC于H，则BHPC，PA=a，AC=a,PC=a， OH=，BO=a，BH=即为所求。例3、在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC （1）若D是BC的中点，求证 ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证 截面MBC1侧面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC
7、1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由。命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。错解分析：（3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。（1）证明：AB=AC，D是BC的中点，ADBC底面ABC侧面BB1C1C，AD侧面BB1C1CADCC1 （2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1NAM=MA1，NA1=A1B1A1B1=A1C1，A1C1=A1N=A1B1C1NC1B1底面NB1C1侧面BB1C1
8、C，C1N侧面BB1C1C截面C1NB侧面BB1C1C截面MBC1侧面BB1C1C （3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，下面证必要性。过M作MEBC1于E，截面MBC1侧面BB1C1CME侧面BB1C1C，又AD侧面BB1C1C MEAD，M、E、D、A共面AM侧面BB1C1C，AMDECC1AD，DECC1D是BC的中点，E是BC1的中点AM=DE=AA1，AM=MA1即是截面的充要条件例4、如图，在正三棱锥ABCD中，BAC=30，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H （1）判定四边形EFGH的形状，并说明理由 （2）设P是棱AD
9、上的点，当AP为何值时，平面PBC平面EFGH，请给出证明 （1）证明：AD/面EFGH,面ACD面EFGHHG，AD面ACD AD/HG.同理EFHG，EFGH是平行四边形ABCD是正三棱锥，A在底面上的射影O是BCD的中心，DOBC，ADBC，HGEH，四边形EFGH是矩形 （2）作CPAD于P点，连结BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面EFGH 面BCP面EFGH，在RtAPC中，CAP=30，AC=AB=a,AP=a 例5、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是直角三角形，ABC=90，2AB=BC=BB1=a，且A1CAC1=D，BC1B1C=E，
10、截面ABC1与截面A1B1C交于DE。求证：（1）A1B1平面BB1C1C；（2）A1CBC1；（3）DE平面BB1C1C。证明：（1）三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，侧面与底面垂直，即平面A1B1C1平面BB1C1C，又ABBC，A1B1B1C1从而A1B1平面BB1C1C。（2）由题设可知四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C，而A1B1平面BB1C1C， A1C在平面BB1C1C上的射影是B1C，由三垂线定理得A1CBC1（3）直三棱柱的侧面均为矩形，而D、E分别为所在侧面对角线的交点，D为A1C的中点，E为B1C的中点，DEA1B1，而由（1）知A1B1平面BB1C1C，DE平
11、面BB1C1C。思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。本讲涉及的主要数学思想方法1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“作、证、算、答”是立体几何计算题不可缺少的步骤。4、在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并要有利于证明，不能随意添加。在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个
12、平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直。解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”，“面面垂直”间的转化条件和转化应用。【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1、若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ）A、 B、C、 D、 2、已知与是两条不同的直线，若直线平面，若直线，则；若，则；若，则；若，则。上述判断正确的是（ ）A、 B、 C、 D、*3、在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（ ）A、B、C、D、4、在直二面角l中，直线a,直线b,a、b与l斜交，则（ ）A、a不和b垂直，但可能abB、a可能和b
13、垂直，也可能abC、a不和b垂直，a也不和b平行D、a不和b平行，但可能ab*5、如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）A、BD平面CB1D1 B、AC1BDC、AC1平面CB1D1 D、异面直线AD与CB1所成的角为60 6、设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（）A、若与所成的角相等，则 B、若，则C、若，则 D、若，则二、填空题7、在直四棱柱中，当底面四边形满足条件_时，有（注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情况）*8、设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题：若，则是的垂心若两两互相垂直，则是的垂心若，是的中点，则若，则是的外心其中正确命题的序号是 9、设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“XZ且YZXY”为真命题的是_（填序号） X、Y、Z是直线 X、Y是直线，Z是平面 Z是直线，X、Y是平面 X、Y、Z是平面三、解答题*10、 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，D、E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BFFC=13。（1）若M为AB中点，求证：
