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1、用心 爱心 专心 高一数学高一数学同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 同角三角函数的基本关系式 二 重点 难点 本节重点是同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 1cossin 22 22 sectan1 22 csccot1 2 商数关系 sin cos cot cos sin tan 3 倒数关系 1cscsin 1seccos 1cottan 典型例题典型例题 例 1 已知 求的其它三角函数值 mtan 解 解 依题意不在 y 轴上 即 若在 x 轴上 则 2 kZk 与不存在 0sin 0tan 1cos cot 1
2、sec csc 若是第一或第四象限角 则 22 1tan1secm m m 1 tan 1 cot 1 1 sec 1 cos 2 2 1 costansin m m m m21 csc 若是第二或第三象限角 则 22 1tan1secm 2 1 1 sec 1 cos m m 1 tan 1 cot 2 1 costansin m m m m21 csc 注 注 已知一个角的某一个三角函数值求该角其它三角函数值时 一般先以与已知角 有平方关系的函数为准将四个象限分成两大类 再利用商数关系和倒数关系求出该角的其 它三角函数值 例 2 试求 1 2 3 m cossin 33 cossin 44
3、 cossin 用心 爱心 专心 4 5 设 试用 55 cossin 66 cossin nn nfcossin 和表示 1 nf nf 1 nf 解 解 由 则m cossin 2 1 cossin 2 m 1 33 cossin cossincos sincos sin 22 3 2 1 2 1 1 2 2 mm m m 2 44 cossin 21 2 1 2 1 21 cos sin21 cossin2 cos sin 42 2 2 2 22222 mm m 3 55 cossin 5 4 1 2 1 3 2 1 cos sincossincossin cossincossin co
4、s sincos sin 4 2 2 2 2233 23323322 mm m m mm 4 66 cossin cossincos sincos sin 224422 361 4 1 2 1 31 cossin31 42 2 2 22 mm m 5 由 则 nn nfcossin cos sin cos sin 1 nn fnf 1 2 1 1 cos sincossincossin 2 1111 nf m nf nnnn 故 1 2 1 1 2 nf m nmfnf 例 3 已知 求证 a 2 4 2 4 sin sin cos cos 1 sin sin cos cos 2 4 2 4
5、证法一 设 a 2 sin 1 0 sin 2 bab 于是ba 1cos 1cos 22 用心 爱心 专心 由已知1 1 1 22 b a b a 即 1 1 21 22 bbabaab 得0 2 baba 于是 2 4 2 4 sin sin cos cos 1 1 1 1 1 2222 a a a a a b a b 证法二 证法二 由已知去分母得 222424 cossincossinsincos 222424 cos cos1 cossin cos1 cos 0coscos2coscos 0cos 1 cos1 coscoscos coscos sin coscoscos 4224
6、422424 424424 0 cos cos 222 则 22 coscos 22 sinsin 故 2 4 2 4 2 4 2 4 sin sin cos cos sin sin cos cos 1sincos 22 证法三 证法三 将上式化简得 222424 sincoscossinsincos 即 cos sinsincoscossinsincos 22222424 sin sincossin cos cossincos 22222222 又由 则 2222 sinsincoscos 222424 sincoscossinsincos 1 sin sin cos cos 2 4 2 4
7、 例 4 若 求证 CxBCxAsinsincos sincoscos 2sinsinsin 222 CBA 证法一 证法一 当时0sin C 0cos A1sin A1sin 0cos BB 此时 2011sinsinsin 222 CBA 当时0sin C C B x C A x sin cos sin sin cos cos 于是1sincos sin cos sin cos 22 2 2 2 2 xx C B C A 即CBA 222 sincoscos 2sinsinsin 222 CBA 证法二 证法二 将已知二式两边平方 有 CxA 222 sincoscos CxB 222 s
8、insincos CxA 222 sincossin1 CxB 222 sinsinsin1 用心 爱心 专心 故CxCxBA 222222 sinsinsincos sin1 sin1 sin cossin 222 xxC C 2 sin 所以2sinsinsin 222 CBA 例 5 已知 且 试求 cos2sin 22 cot3tan 0 和 解 解 1 当时 适合0tan 2 0 2 当时0tan 由已知两式相除 得 即 cot3 cos2 tan sin sin 3 2 cos 故 又由 2 cos3 sin 3 tan cot 由平方关系消去 得 2 22 sin 1 cscco
9、t1 即 2 2 cos3 2 3 tan 1 得 tan1 3 2 3 tan 1 2 2 1tan 又由 故或 22 4 4 或或 3 4 3 2 4 2 0 例 6 设 求使成立时 k 的取值范围 k cossin0cossin 33 解 解 由 根据三角函数的定义 设 有k cossinx siny cos 2 2 22 2 22 2 22 yx yx yx yx yx yx k 故22 k 又由 sincoscos sincos sincossin 2233 3 2 1 2 kk 由0 3 2 1 0cossin 233 kk 或0 3 3 kkk3 k03 k 又由 则22 k02
10、 k 所以 k 的取值范围是 0 2 用心 爱心 专心 例 7 已知是方程的两个根 cos sin0 12 525 22 aaxax 2 0 求 tan 解 解 由韦达定理 5 12 cossin a 25 cossin 2 aa 由 则 cossin21 cos sin 2 25 21 25 12 22 aaa 化简得012 2 aa 或3 a4 a 当时 原方程为3 a0123525 2 xx 0 45 35 xx 故两根分别为和 即或 5 3 5 4 4 3 tan 3 4 当时 由 又矛盾 4 a 5 7 cossin 2 0 故不合题意舍去4 a 综上 的值为或 tan 4 3 3
11、4 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 若 则是第 象限角 22 cot1 sin tan1 cos 1 A 一B 二C 三D 四 2 如果 且 则的值为 5 1 cossin 0 tan A B 或C D 或 3 4 3 4 4 3 4 3 3 4 4 3 3 已知 为锐角 且 则的值为 7sin3tan2 1sin6tan sin A B C D 5 73 7 73 10 103 3 1 4 若 则的值为 1cossin cossinNnxx nn A B 1C 1 或D 不确定1 1 二 填空题 1 化简的结果为 66 44 cossin1 cossin1 2 若有实根 则实数的取值范围是
12、 0cossin 2 axxa 3 若 且 则 2 0 sin 8 7 sin tan 4 1 tan 4 设 且 则 225 17 cossin 44 cossin 用心 爱心 专心 三 解答题 设 且 试求的值 0 13 7 cossin tan1 tan1 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 一 1 C 2 A 3 C 4 B 二 1 2 3 4 3 2 1 4 5 3 5 2 三 解 由时 则 故 2 0 1cossin 2 0sin 0cos 且 由和 得 cos sin 13 7 cossin 1cossin 22 13 12 sin 则 故 13 5 cos 5 12 tan 7 17 tan1 tan1
