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1、第十一课时 数列应用题教学目标：将等比数列的通项公式和前n项求和公式应用到应用题的有关计算中去；增强学生的应用意识，提高学生的实际应用能力.教学重点：等比数列通项公式和前n项和公式的应用.教学难点：利用等比数列有关知识解决一些实际问题.教学过程：例1某人年初向银行贷款10万元用于购房.（）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？解：（）若向建设银行贷款，设每年还款x元，则10
2、5(1105%)x(195%)x(185%)x(175%)x即：1051.510x450.05元，解得x12245(元)（）若向工商银行贷款，每年需还y元，则：105(14%)10y(14%)9y(14%)8y(14%)y即1051.0410y其中：1.04101100.04450.0421200.0432100.0441.4802.y12330(元)答：向建设银行贷款，每年应付12245元；若向工商银行贷款，每年应付12330元.例2用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分
3、期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？解：购买时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分20次付清，由于每次都必须交50元，外加上所欠余款的利息，这样每次交付欠款的数额顺月次构成一数列设每次交款数额依次为a1，a2，a20则：a15010001%60元，a250(100050)1%59.5元a1050(1000950)1%55.5元即第10个月应付款55.5元.由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有：S20201105(元)即全部付清后实际付款（1105150）1255（元）.例3某职工年初向银行贷款2万元用于
4、购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？分析：逐年分析，寻找规律，建立恰当数学模型.解：设贷款额为a0元，贷款年利率为，次年等额归还x元，第n年还清，则一年后的欠款数为：a1(1)a0x二年后的欠款数为：a2(1)a1x(1)2a0x（1）1三年后的欠款数为：a3(1)a2x(1)3a0x（1）2(1)1n年后的欠款数为：an(1)an1x(1)na0x(1)n1(1)n2(1)1由于an0，贷款还清，(1)na0x， x
5、将0.1，a020000，n10代入，得x3255元.例4某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a元，1998年7月1日，他将到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r不变，问到2002年7月1日他的本息共有多少？分析：逐年分析，寻找规律，建立数学模型.解：由题意得：1998年本息总数为a(1r)，1999年本息总数为a(1r)2a(1r),2002年本息总数为：a(1r)5a(1r)4a(1r)3a(1r)2a(1r)即 (1r)6(1r)评述：解决等比数列应用题的关键是认真审题抓特点，
6、仔细观察找规律，一般地，等比数列的特点是增加或减少的百分数相同，为了分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查.例5某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.（3）若1.284.3，计算S (精确到1立方米).分析：由题意可知，各年植树亩数为：100，150，200，成等差数列解：(1)设植树n年可将荒山全部绿化，则：100n50
7、2200解之得n8或n11(舍去)(2)1995年所植树，春季木材量为200 m3，到2002年底木材量则增为2001.28 m3.1996年所植树到2002年底木材量为3001.27 m3.2002年所植树到年底木材量为9001.2 m3，则：到2002年底木材总量为：S2001.283001.274001.269001.2 (m3)(3)S9001.28001.227001.232001.281.2S9001.228001.233001.282001.29，两式相减得：0.2S2001.29100(1.221.231.28)9001.22001.291009001.21812S9060(
8、m3)数列应用题例1某人年初向银行贷款10万元用于购房.（）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？（）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？例2用分期付款的方式购买家电一件，价为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元后的每一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家用电器实际花费多少钱？例3某职工年初
9、向银行贷款2万元用于购房，银行为了推动住房制度改革，贷款的优惠年利率为10%，按复利计算（即将本年的本金与利润的总和计为次年的本金），若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，10年还清，并且从贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？例4某人于1997年7月1日在银行按一年定期储蓄的方式存入a元，1998年7月1日，他将到期存款的本息取出后添上a元再按一年定期储蓄存入银行，此后他每年7月1日按照同样同样的方法在银行取款和存款，设银行定期储蓄的年利率r不变，问到2002年7月1日他的本息共有多少？ 例5某地区荒山2200亩，从1995年开始每年春季在荒山植树造林，第一年植树100亩，以后每一年比上一年多植树50亩.（1）若所植树全部都成活，则到哪一年可将荒山全部绿化?（2）若每亩所植树苗、木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为S，求S的表达式.（3）若1.284.3，计算S (精确到1立方米).- 5 -
