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1、第二章 反函数教材分析http:/www.DearEDU.com1 本节知识结构：2教学目的与要求：（1）使学生了解反函数的概念（2）使学生明确求反函数的三个步骤，会求一些简单函数的反函数（3）使学生明确互为反函数的函数图象关于直线yx 对称 3 教材分析与教学建议：（1）本小节计划三课时，可以第一课时学习反函数的概念，第二课时学习反函数的求法，第三课时学习互为反函数的图象之间的关系（2）本小节教材的重点是反函数的概念，学生学习中可能遇上的难点是理解yf1（x）中f1的意义，和求出一个函数的反函数（3）反函数在数学中十分重要，课本通过实例引入这一概念教学时，可给学生创设以下活动情境：设某物体在
2、直线l上（从点A起）作匀速直线运动，速度是12（米/秒），写出位移s用时间t表示的关系式，并回答你写出的关系式是否表明s是t的函数？由s1.2t计算出t取整数时对应的s值，并将其列表；表格如下：图219由t计算出位移为1.2的整数倍时对应的时间t的值，并将其列表；表格如下：图220引导学生理解图219的意义：由时间计算位移，并且每一个时间都有唯一的位移与其对应，反映的是位移是时间的函数；让学生思考图220的意义：由位移计算时间，并且每一个位移都有唯一的时间与其对应，反映的也是一个函数关系：时间是位移的函数；让学生思考：函数s1.2t与函数t是相同的函数吗？它们有什么关系？在学生完成以上活动后，
3、给出反函数的定义（4）关于给定函数与它的反函数之间的关系，应明确以下几点： 反函数的定义域与值域应该正好是原来函数的值域与定义域，否则不能算是原来函数的反函数例如“x（yZ）不是函数y2x（xZ）的反函数，因为前者的值域显然不是后者的定义域所以求原来函数的反函数时，必须已知或先确定原来函数的值域 对于任意一个函数yf（x）来说，不一定有反函数如果有反函数yf1（x），那么原来函数yf（x）也是反函数yf1（x）的反函数，即它们互为反函数 反函数也是函数，因为它是符合函数定义的（5）求由解析式给出的函数yf（x）的反函数时，要强调分三个步骤进行：第一步将yf（x）看成方程，解出xf1（y）；第二
4、步将x，y互换，得到yf1（x）；第三步写出反函数的定义域要向学生指出： yf（x）中的x，y与在xf1（y） 中的x，y所表示的量相同，但是地位不同在yf（x）中的是自变量，是函数值；在xf1（y） 中的是自变量，x是函数值 yf（x）与在yf1（x）中的都是自变量，y是函数值，这比较符合习惯，并给研究函数带来某些方便但是x，y所表示的量（指实际意义）在两式中被互换了，在yf（x）中的x，y所表示的量，分别是yf1（x）中的y，x所表示的量 把反函数xf1（y） 改写成yf1（x）的形式，在同一个直角坐标系中，函数yf（x）的图像与它的反函数yf1（x）的图象关于直线yx对称这也是对换变量x
5、，y 的好处之一（6）互为反函数的两个函数如果有解析式，一般是不同的，但是也有少数例外，例如函数yx的反函数仍是yx；函数y的反函数仍是y如果一个有反函数的函数与其反函数的解析式是相同的，则这个函数的图象是关于直线yx对称的如函数y的图象如下： 图221 （7）研究互为反函数的函数之间的图象关系时，教材是通过例2、例3两个例题，画原来函数与它的反函数的图象，结合图象得出一般结论： 函数yf（x）的图象和它的反函数yf 1（x）的图象关于直线yx对称其实，学生以上的认识是不充分的，因此，在具体教学过程中，可让学生进行以下活动：对例1中四对互为反函数的函数，分四次在同一坐标系中画出它们的图象，同时
6、画出yx的图象，得出下面图象：图222图223图224图225让学生对以上图象进行观察分析，尝试得出一些结论；学生自己找一对互为反函数的函数，在同一坐标系中画出它们的图象和yx的图象验证自己的结论；进行例2、例3的教学；得出互为反函数的函数图象之间的关系；指出以上的过程，并没有证明“函数yf（x）的图象和它的反函数yf 1（x）的图象关于直线yx对称”，这个证明教材不作要求（8）在得到互为反函数的函数图象之间的关系后，应帮助学生认识如下几点：函数yf（x）与yf 1（x）的图象关于直线yx对称，这个结论是在坐标系中横轴为轴，纵轴为轴，而且横轴与纵轴的单位长度一致的前提下得出的 函数yf（x）与
7、yf 1（x）的图象关于直线yx对称，而不是函数yf（x）与xf 1（y） 的图象关于直线yx对称 函数yf（x）和函数xf 1（y） 的图象是同一个图象例如，函数y3x2与的图象是同一条直线 （9）函数yf（x）的图象和它的反函数yf 1（x）的图象关于直线yx对称这一结论教材没有证明，在学习了两点间距离公式后或直接利用勾股定理作为依据是可以证明的现给出这一结论的证明过程，为了不提高教学要求，不要求给学生证明，仅供教师参考 定理函数yf（x）的图象和它的反函数yf 1（x）的图象关于直线yx对称 证明：设M（a，b）是yf（x）的图象上的任意一点，那么xa时，f（x）有唯一的值f（a）b因为
8、yf（x）有反函数yf 1（x），所以xb时，f 1（x）有唯一的值f 1（b）a，即点M（b，a）在反函数yf 1（x）的图象上 如果ab，那么M，M是直线yx上的同一个点，因此它们关于直线yx对称现设ab，如图226，在直线yx上任意取一点P（c，c），连结PM，PM，MM由两点间距离公式，PM，PM，PMPM由此可知，且直线yx上任意取一点到两个定点M、M的距离相等，因此直线yx是线段MM的垂直平分线，从而点M、M关于直线对称图226因为点是yf（x）的图象上的任意一点，所以yf（x）图象上任意一点关于直线yx的对称点都在它的反函数yf 1（x）的图象上由yf（x）与yf 1（x）互为反
9、函数，可知，函数yf 1（x）图象上任意一点关于直线yx的对称点也都在它的反函数yf（x）的图象上这就是说，函数yf（x）与yf 1（x）的图象关于直线yx对称（10）学生对“函数yf（x）与yf 1（x）的图象关于直线yx对称，函数yf（x）与xf 1（y）的图象相同”较难理解，为解决这一难点，可多提供一些具体例子给学生在计算机或计算器上操作，如：y=x2，y=（x0），x=（y0）（11）借助于计算机或计算器，可以很直观地说明“对应法则是一一映射的函数一定有反函数”，而单调函数的对应法则是一一映射，从而“单调函数一定有反函数” 但有反函数的函数不一定是单调函数，这可由函数y加以说明（12）本节的“数学实验”，是希望学生借助于计算机或计算器，获得结论：函数有反函数平行于x轴的直线（含x轴）与函数的图象至多有一个交点在做这个“数学实验”前，应让学生利用图形计算器或计算机，研究一两个有反函数的函数的图象与平行于x轴的直线（含x轴）的交点个数用心 爱心 专心 117号编辑 4
