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1、9.4 两个平面平行知识梳理1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.点击双基1.（2005年春季北京，3）下列命题中，正确的是A.经过不同的三点有且只有一个平面B.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D.垂直于同一个平面的两个平面平行答案：C2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、，对于下面四种情况：b，b，.其中可能的情况有A.1种 B.2种 C.3种 D.4种解析：都有可能，不可能，否则有ba与已知
2、矛盾.答案：C3.、是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定的是A.、都平行于直线a、bB.内有三个不共线点到的距离相等C.a、b是内两条直线，且a，bD.a、b是两条异面直线且a，b，a，b解析：A错，若ab，则不能断定；B错，若A、B、C三点不在的同一侧，则不能断定；C错，若ab，则不能断定；D正确.答案：D4.a、b、为三条不重合的直线，、为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：其中正确的命题是_.（将正确的序号都填上）答案：典例剖析【例1】 设平面平面，AB、CD是两条异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C，B、D，求证：MN平面.剖析：因为
3、AB与CD是异面直线，故MN与AC、BD不平行.在平面、中不易找到与MN平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN且与平行的平面.根据M、N是异面直线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME是BAC的中位线，故MEAC，ME，ME.同理可证，NEBD.又，设CB与DC确定的平面BCD与平面交于直线CF，则CFBD，NECF.而NE平面，CF，NE.又MENE=E，平面M
4、NE，而MN平面MNE，MN平面.【例2】 如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1CC1.求证：平面A1BC1平面ACD1.证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.AA1CC1BB1DD1，且AA1AB，AA1A1D1，ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.故它们的对应边平行且相等.ABCA1B1C1，A1B1B1C1.同理，ADCD.BB1AB，BB1BC，BB1平面ABC.同理，DD1平面ACD.BB1DD1，BB1平面ACD.A、B、C、D四点共面.ABC
5、D为正方形.同理，A1B1C1D1也是正方形.故ABCDA1B1C1D1是正方体.易知A1C1AC，A1C1平面ACD1.同理，BC1平面ACD1，平面A1BC1平面ACD1.证法二：证ABCDA1B1C1D1是正方体，同上.连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，由三垂线定理知B1DA1C1，同理可证B1DBA1，B1D平面A1BC1.同理可证，B1D平面ACD1，平面A1BC1平面ACD1.思考讨论证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.【例3】 如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1
6、D1的中点，求证：（1）APMN；（2）平面MNP平面A1BD.证明：（1）连结BC1、B1C，则B1CBC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.APB1C.又B1CMN，APMN.（2）连结B1D1，P、N分别是D1C1、B1C1的中点，PNB1D1.又B1D1BD，PNBD.又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD.又PNMN=N，平面PMN平面A1BD.评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M、N、P都为中点，故添加B1C、BC1作为联系的桥梁.闯关训练夯实基础1.（2003年上海）在下列条件中，
7、可判断平面与平行的是A.、都垂直于平面B.内存在不共线的三点到的距离相等C.l、m是内两条直线，且l，mD.l、m是两条异面直线，且l，m，l，m答案：D2.设平面，A、C，B、D，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=4，则CS=_.解析：如图（1），由可知BDAC，=，即=，SC=68.如图（2），由知ACBD，=，即=.SC=.答案：68或3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCDA1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形EFGH的面积不改变；棱A1D1始终与水面EFGH平
8、行；当容器倾斜如图乙时，EFBF是定值.其中正确命题的序号是_.解析：对于命题，由于BC固定，所以在倾斜的过程中，始终有ADEHFGBC，且平面AEFB平面DHGC，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC为棱柱的一条侧棱，命题正确.对于命题，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故不正确.是正确的（请给出证明）.是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是.答案：4.如下图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面，AB，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.（1）求
9、证：MN；（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.（1）证明：过B作BB，垂足为B，连结CB、DB，设E为BD的中点，连结NE、CE，则NEBB且NE=BB，又AC=BB，MCNE，即四边形MCEN为平行四边形（矩形）.MNCE.又CE，MN，MN.（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB=a=CD，BD=，CE=，即线段MN的长为.5.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1平面C1DB；（2）求证：A1C平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.（1）证明：D1B1DB，D1B1平面C1DB.同理，AB1平
10、面C1DB.又D1B1AB1=B1，平面AD1B1平面C1DB.（2）证明：A1C1D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，A1C1D1B1.同理，A1CAB1，D1B1AB1=B1.A1C平面AD1B1.（3）解：设A1C平面AB1D1=M，A1C平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心.则MAO1，NC1O，且AO1C1O，MN的长等于平面AD1B1与平面C1DB的距离，即MN=A1M=NC=A1C=a.培养能力6.如下图，直线a直线b，a平面，b平面，平面，平面，a与b所确定的平面不与垂直.如果a、b不是的垂线，则必有.证明：令=直
11、线a，=直线b.分别过a、b上任一点在内、内作a、b的垂线m、n.根据两平面垂直的性质定理，m，n.mn.a不垂直于，m，且a、m在内，a与m必是相交直线.又b与n在内，且有ab，mn，a，m.点评：根据ab，在、内另找一对平行线.由、，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.7.如下图，已知平面平面平面，且位于与之间.点A、D，C、F，AC=B，DF=E.（1）求证：=；（2）设AF交于M，ACDF，与间距离为h，与间距离为h，当的值是多少时，BEM的面积最大?（1）证明：连结BM、EM、BE.，平面ACF分别交、于BM、CF，BMCF.=.同理，=.=.
12、（2）解：由（1）知BMCF，=.同理，=.S=CFAD（1）sinBME.据题意知，AD与CF是异面直线，只是在与间变化位置.故CF、AD是常量，sinBME是AD与CF所成角的正弦值，也是常量，令hh=x.只要考查函数y=x（1x）的最值即可，显然当x=，即= 时，y=x2+x有最大值.当= ，即在、两平面的中间时，S最大.8.如下图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，AB=a.（1）求证：平面AMN平面EFDB；（2）求异面直线BE与MN之间的距离.（1）证明：MNEF，MN平面EFDB.又AMDF，AM平面EFDB.
13、而MNAM=M，平面AMN平面EFDB.（2）解：BE平面EFDB，MN平面AMN，且平面AMN平面EFDB，BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OHAP于H.DB平面A1ACC1，DBOH.而MNDB，OHMN.则OH平面AMN.A1P=a，AP= a，设A1AP=，则cos=，OH=AOsin=a a=a.异面直线BE与MN的距离是a.探究创新9.科学植树的一个重要因素就是要考虑阳光对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为的斜坡上种树，假设树高为h m，当太阳在北偏东而仰角为时，该树在坡面上的影长为多少米？分析：如下图，DE是高度为h的树，斜坡AD朝正南方向，AB为东西方向，BC为南北方向.CBD=，ACB=，EAC=，AED=90，影长AD=x为未知量.但x难以直接与上述诸已知量发生联系，故设DAC=为辅助未知量，以揭示x与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.解：在ADE中，=，即=.在ACD中，CD=xsin，AC=xcos.在ABC中，BC=ACcos=xcoscos.在BCD中，tan=.
