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1、河南省南阳市第一中学2020届高三数学上学期第三次月考试题 文（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.函数的定义域为A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故定义域为，故选C2.设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.【详解】 时，, 为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立， ，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础
2、知识、逻辑推理能力的考查.3.设全集，则图中阴影部分所表示的集合（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将集合的表示元素范围求解出来，然后将阴影部分先用集合间的运算表示出来，最后再计算结果.【详解】因为，所以，所以；因为，所以，所以；又因为阴影部分为：，且，所以，故选：D.【点睛】本题考查根据集合的交并补计算图表示的阴影部分，难度较易.解指数不等式时注意利用指数函数单调性分析.4.将正方体（如图1）截去三个三棱锥后，得到（如图2）所示的几何体，侧视图的视线方向（如图2）所示，则该几何体的侧视图为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】点在左侧面的投影为正方形，在左侧面的
3、投影为斜向下的正方形对角线，在左侧面的投影为斜向上的正方形对角线，为不可见轮廓线，综上可知故选D.5.已知函数等于A. 2B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】利用已知推导出，由此能求出结果【详解】解：函数，故选：A【点睛】本题考查函数值值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题6.设函数,若f(a)1，则实数a的取值范围是()A. (，3)B. (1，)C. (3,1)D. (，3)(1，)【答案】C【解析】【分析】，即，时，分别求解即可【详解】，即，解得，则时，解得综上所述，则故选【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，考查了分段函数的解析式求法，分类讨论思想的应用
4、，较为基础。7.如图，是平行六面体，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（）A. 不共面B. 三点共线C. 不共面D. 共面【答案】B【解析】【分析】根据空间中的点、线、面的位置关系来判断是否共线、共面.【详解】如图所示：连接，因为平面，平面，所以是平面与平面的交线；又因为直线交平面于点，所以，所以三点共线，则B正确；因为平面，所以共面，故A错误，同理可知C错误；显然不是中点，所以不共面，故D错误，故选：B.【点睛】本题考查空间中的共线、共面的判断，难度一般.当两个平面的交线为时，若其中一个平面内的直线与另一个平面相交，则交点一定在上.8.设函数f(x),f(f(a)3，则实数a的
5、取值范围是()A. (，)B. ，)C. ，D. (，【答案】D【解析】令，则由得或，解得，则由得或，解得或，则实数的取值范围是；故选D.点睛：本题考查与分段函数有关的复合不等式问题；解决与分段函数有关的不等式时，要注意讨论自变量的取值范围，根据自变量的范围确定是那一段解析式，如本题中要分别讨论和与的大小关系.9.已知等腰直角三角形ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，沿DE将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用直二面角确定外接球的球心，然后利用相关条件计算球的半径，最后求解球的表面积.【详解】如图，取中点，连接，过作直
6、线垂直于平面，则球心必在直线上记，直线与交于，设，则，又为等腰直角三角形，所以，因为，所以，所以解得：，所以外接球半径，所以球的表面积为：.【点睛】本题考查空间几何体的外接球的表面积计算，难度一般.求解外接球、内切球的有关问题时关键是球心的确定，并且要注意到球心与小圆面的圆心的连线垂直于小圆面.10.函数在区间的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：判断的奇偶性，在上的单调性，计算的值，结合选项即可得出答案.详解：设，当 时，当时，即函数在上为单调递增函数，排除B；由当时，排除D；因为，所以函数为非奇非偶函数，排除C，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解
7、答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力.11.如图，在四棱锥中，底， ，若为棱上一点，满足，则（）A. B. C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据以及线面垂直的相关知识确定出的位置，然后根据位置计算比值.【详解】过作，垂足为，过作，所以平面，所以，又因为且，所以平面，所以；根据等面积有：，解得：，又因为，所以，又因为，所以，故选：B.【点睛】本题考查线面垂直的应用，难度一般.当一条直线与平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线必定垂直于此平面.12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为（ ）
8、A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】D【解析】求函数的零点个数只需考查方程的实根个数，当时， ，在上递减，在上递增，值域为.当时， 当时，函数的值域为，当时，函数的值域为，当时，函数的值域为， 在上有个实根，又函数为偶函数， 在上有10个实根，函数的零点个数为10个，选D.二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知幂函数为奇函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据条件先确定的值，然后利用奇偶性和单调性求不等式解集.【详解】因为是幂函数，所以，所以或；又因为是奇函数，所以，所以且在上单调递增；因为，所以，所以，解得.【点睛】本题考查幂函数定义、利用函数奇偶性和单调性解不等式的
9、综合，难度一般.（1）形如，若是幂函数，则一定为；（2）奇函数中有：.14.在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_.【答案】4.【解析】【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，即切点，则切点Q到直线距离为，故答案为：【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.15.已知正方体的棱长为，且所有棱均与球相切，是线段的中点，直线经过点且与直线平行，
10、则直线被球截得的线段长为_.【答案】【解析】【分析】取的中点，直线即为直线，为正方体的中心，球的半径，利用勾股定理即可得到直线被球截得的线段长.【详解】取的中点，连接，故直线即为直线，又正方体的所有棱均与球相切，为正方体的中心，球的半径，球心到直线的距离，直线被球截得的线段长为.故答案：【点睛】本题考查与球相关的组合体问题，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力，属于中档题16.已知函数满足，函数，若函数与的图象共有12个交点，记作，则的值为_.【答案】72【解析】【分析】考虑的对称中心，根据对称性确定交点间的关系，由此计算待求式子的值.【详解】因为，所以关于点成中心对称，又因为，所以也
11、关于点成中心对称，所以与的图象的交点也关于点成中心对称，不妨认为，所以有，所以.【点睛】本题考查函数对称性应用，难度较难.若函数满足，则的图象关于点中心对称.三、解答题（共60分)17.已知函数. （1）当（2）若函数【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）根据对称轴与定义区间位置关系确定函数最值，即得值域，（2）根据对称轴与定义区间位置关系讨论函数最值取法，再根据最大值确定【详解】（1）当，函数对称轴为，因此当时，当时，即为（2）当时，满足题意，当时，满足题意，综上，或.【点睛】研究二次函数最值或单调性，一般根据对称轴与定义区间位置关系进行分类讨论.18.如图，在三棱锥中，侧面与侧面均
12、为边长为2的等边三角形， ，为中点.(1)证明: ;(2)求点到平面的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连结OA，推导出SOBC，SOAO，由此能证明SO平面ABC;（2）设点B到平面SAC的距离为h，由VSBAC=VBSAC，能求出点B到平面SAC的距离【详解】（1）由题设 ，连结，为等腰直角三角形，所以，且， 又为等腰三角形，故，且，从而所以为直角三角形，又所以平面，故ACSO （2）设B到平面SAC的距离为，则由（）知：三棱锥即为等腰直角三角形,且腰长为2. SAC的面积为=ABC面积为, ,B到平面SAC的距离为【点睛】本题考查
13、线面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题19.已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，g(x)在区间(0,2上的值不小于6，求实数a的取值范围【答案】（1）f(x)x（2）7，)【解析】解：(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，点(x，y)关于点A(0,1)的对称点(x,2y)在h(x)的图象上，2yx2，yx，即f(x)x.(2)由题意g(x)x，且g(x)x6，x
14、(0,2x(0,2，a1x(6x)，即ax26x1.令q(x)x26x1，x(0,2，q(x)x26x1(x3)28，x(0,2时，q(x)maxq(2)7，故a的取值范围为7，)20.已知等差数列,其前项和为，等比数列的各项均为正数，公比是，且满足：，（1）求与；（2）设，若数列是递增数列，求的取值范围【答案】(1) , (2)【解析】【分析】（1）根据给出条件构建的方程组，然后即可求解两个数列的通项公式；（2）根据递增数列对应的恒成立去计算的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以，解得，所以，.（2）由（1）知：，因为，所以，所以，因为是递增的，所以. ，所以.【点睛】本题考查等差等比数列通先求解以及根据数列的单调性求解参数范围，难度一般.根据数列的单调性求解参数范围，若数列是递增的，则有；若数列是递减的，则有.21.如图1，已知菱形的对角线交于
