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1、福建省邵武市第四中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(2,3,1),则下列向量中与平行的是()A(1,1,1) B(4,6,2) C(2,3,5) D(2,3,1)2. 过点(1,1)的抛物的焦点坐标为()A B C D3已知命题的否定是,命题双曲线的离心率为2,则下列命题中为真命题的是( )A B C D4. 若两个向量,则平面ABC的一个法向量为()A(-1,2,-1) B(1,2,1) C(1,2,-1) D(1,2,1)5函数在区间上的平均变化率等于( )A
2、 B C D86设,为两个平面,则的充要条件是( )A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行C,平行于同一条直线 D,垂直于同一平面7. 若椭圆的离心率为,则双曲线的渐近线方程为 ( )A B C D8. 已知两点,且是与的等差中项,则动点的轨迹方程是 ( )A B C D9. 设是函数的导函数,将和的图像画在同一个直角坐标系中,不可能的是()10.已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,则=( ) A2 B C6 D811.,分别是双曲线(,)的左右焦点, 过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点,若 为等边三角形,则双曲线的离心率为 ( ) A BC D12若函数在区间D上是增函数,且函
3、数在区间D上是减函数,则称函数是区间D上的“H函数”对于命题:函数是区间(0,1)上的“H函数”;函数是区间(0,1)上的“H函数”下列判断正确的是()A和均为真命题 B为真命题,为假命题C为假命题,为真命题 D和均为假命题二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知函数,为的导函数,则的值为_14.函数在点 处的切线方程为 15. 直三棱柱ABCA1B1C1中,若BAC90,ABACAA1,则异面直线BA1与AC1所成角为 16. 已知椭圆的左焦点为,点在椭圆上且在轴的上方,若线段的中点在以原点为圆心,为半径的圆上,则直线的斜率是_三、解答题:本大题共6小题,共70分解
4、答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本小题满分10分)已知函数,且,(1)求,的值;(2)求函数的单调递减区间 18. (本小题满分12分)已知命题P:不等式对一切恒成立;命题q:函数是增函数若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围19(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)求二面角PABD的大小20. (本小题满分12分)已知椭圆.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若,斜率为的直线与椭圆交于、两点,且,求的面积.21(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF平面A
5、BCD四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且ADBC,ABD是边长为1的等边三角形,M为线段BD中点,BC3(1)求证:AFBD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值;(3)线段BD上是否存在点N,使得直线CE平面AFN?若存在,求的值;若不存在,请说明理由22(本小题满分12分)如图,已知椭圆(,)的离心率是,一个顶点是()求椭圆的方程;()设,是椭圆上异于点的任意两点,且试问:直线是否恒过一定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由.福建邵武第四中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学答案一、选择题 本大题共12个小题,每小题5分,共60分1-5:BCADB 6
6、-10:BACDB 11-12;AC二、填空题 每题5分,满分20分13 14. 15. 16. 三、解答题17. (本小题满分10分)(1)所以解得综上所述 (2) =令,解得或令,解得所以的单调增区间为和,单调递减区间为 18、(本小题满分12分)已知命题P:不等式对一切恒成立;命题q:函数是增函数若p或q为真,p且q为假,求实数a的取值范围解: p为真:, q为真:因为p或q为真, p且q为假, p,q一真一假当p真q假时, 当p假q真时,a的取值范围为19、(本小题满分12分)如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点(1)证明:平面PAB平面PA
7、D;(2)求二面角PABD的大小【答案】证明:(1)四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,PDDC,E是PC的中点ABAD,ABPD,又ADPDD,AB平面PAD,AB平面PAB,平面PAB平面PAD解:(2)以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DP为z轴,建立空间直角坐标系,设PDDCDP2,则A(2,0,0),P(0,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),(2,0,2),(0,2,0),设平面PAB的法向量(x,y,z),则,取x1,得(1,0,1),平面ABD的法向量(0,0,1),设二面角PABD的大小为,则cos,45,二面角PABD的大小为4520. (本小题满
8、分12分)已知椭圆.(1)求椭圆C的离心率e;(2)若,斜率为的直线与椭圆交于、两点,且,求的面积.【答案】(1) ;(2).【详解】(1)椭圆,椭圆长半轴长为,短半轴长为,;(2)设斜率为的直线的方程为,且、,椭圆的方程为,由,.消去得,又有.,解得:满足,直线的方程为.故到直线的距离,21(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF平面ABCD四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且ADBC,ABD是边长为1的等边三角形,M为线段BD中点,BC3(1)求证:AFBD;(2)求直线MF与平面CDE所成角的正弦值;(3)线段BD上是否存在点N,使得直线CE平面AFN?
9、若存在,求的值;若不存在,请说明理由【答案】证明:(1)因为ADEF为正方形,所以AFAD又因为平面ADEF平面ABCD,且平面ADEF平面ABCDAD,所以AF平面ABCD所以AFBD解:(2)取AD中点O,EF中点K,连接OB,OK于是在ABD中,OBOD,在正方ADEF中OKOD,又平面ADEF平面ABCD,故OB平面AFEF,进而0BOK,即OB,OD,OK两两垂直分别以OB,OD,OK为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图)于是,所以设平面CDE的一个法向量为n(x,y,z),则,令x5,则,则(5,0)设直线MF与平面CDE所成角为,则直线MF与平面CDE所成角的正弦值为:si
10、n|cos|(3)要使直线CE平面AFN,只需ANCD,设,则,所以,又 ,所以线段BD上存在点N,使得直线CE平面AFN,且22(本小题满分12分)如图,已知椭圆的离心率是,一个顶点是()求椭圆的方程;()设,是椭圆上异于点的任意两点,且试问:直线是否恒过一定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由试题解析:()解:设椭圆的半焦距为依题意,得,且,解得所以,椭圆的方程是()证法一:易知,直线的斜率存在,设其方程为将直线的方程代入,消去,整理得设,则,(1)因为,且直线的斜率均存在,所以, 整理得(2)因为,所以,(3)将(3)代入(2),整理得(4)将(1)代入(4),整理得解得,或(舍去)所以,直线恒过定点证法二:直线的斜率均存在,设直线的方程为将直线的方程代入,消去,得解得,或设,所以,所以以替换点坐标中的,可得从而,直线的方程是依题意,若直线过定点,则定点必定在轴上在上述方程中,令,解得所以,直线恒过定点11