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1、福建省邵武市第四中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量（2，3，1），则下列向量中与平行的是（）A（1，1，1） B（4，6，2） C（2，3，5） D（2，3，1）2. 过点（1，1）的抛物的焦点坐标为（）A B C D3已知命题的否定是，命题双曲线的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（ ）A B C D4. 若两个向量，则平面ABC的一个法向量为（）A（-1，2，-1） B（1，2，1） C（1，2，-1） D（1，2，1）5函数在区间上的平均变化率等于（ ）A
2、 B C D86设，为两个平面，则的充要条件是（ ）A内有无数条直线与平行 B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线 D，垂直于同一平面7. 若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A B C D8. 已知两点，且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是 （ ）A B C D9. 设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能的是（）10.已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则=（ ） A2 B C6 D811.，分别是双曲线（，）的左右焦点， 过的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，若 为等边三角形，则双曲线的离心率为 （ ） A BC D12若函数在区间D上是增函数，且函
3、数在区间D上是减函数，则称函数是区间D上的“H函数”对于命题：函数是区间（0，1）上的“H函数”；函数是区间（0，1）上的“H函数”下列判断正确的是（）A和均为真命题 B为真命题，为假命题C为假命题，为真命题 D和均为假命题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数，为的导函数，则的值为_14.函数在点 处的切线方程为 15. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成角为 16. 已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_三、解答题：本大题共6小题，共70分解
4、答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）已知函数，且，（1）求，的值；（2）求函数的单调递减区间 18. （本小题满分12分）已知命题P：不等式对一切恒成立；命题q：函数是增函数若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围19（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）求二面角PABD的大小20. （本小题满分12分）已知椭圆.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.21（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面A
5、BCD四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且ADBC，ABD是边长为1的等边三角形，M为线段BD中点，BC3（1）求证：AFBD；（2）求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；（3）线段BD上是否存在点N，使得直线CE平面AFN？若存在，求的值；若不存在，请说明理由22(本小题满分12分）如图，已知椭圆（，）的离心率是，一个顶点是（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上异于点的任意两点，且试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由.福建邵武第四中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学答案一、选择题 本大题共12个小题,每小题5分,共60分1-5：BCADB 6
6、-10：BACDB 11-12；AC二、填空题 每题5分，满分20分13 14. 15. 16. 三、解答题17. （本小题满分10分）(1)所以解得综上所述 (2) =令，解得或令，解得所以的单调增区间为和，单调递减区间为 18、（本小题满分12分）已知命题P：不等式对一切恒成立；命题q：函数是增函数若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围解： p为真：, q为真：因为p或q为真， p且q为假， p,q一真一假当p真q假时， 当p假q真时，a的取值范围为19、（本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点（1）证明：平面PAB平面PA
7、D；（2）求二面角PABD的大小【答案】证明：（1）四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点ABAD，ABPD，又ADPDD，AB平面PAD，AB平面PAB，平面PAB平面PAD解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，设PDDCDP2，则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），（2，0，2），（0，2，0），设平面PAB的法向量（x，y，z），则，取x1，得（1，0，1），平面ABD的法向量（0，0，1），设二面角PABD的大小为，则cos，45，二面角PABD的大小为4520. （本小题满
8、分12分）已知椭圆.（1）求椭圆C的离心率e；（2）若，斜率为的直线与椭圆交于、两点，且，求的面积.【答案】（1） ；（2）.【详解】（1）椭圆，椭圆长半轴长为，短半轴长为，；（2）设斜率为的直线的方程为，且、，椭圆的方程为，由，.消去得，又有.，解得：满足，直线的方程为.故到直线的距离，21（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF平面ABCD四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且ADBC，ABD是边长为1的等边三角形，M为线段BD中点，BC3（1）求证：AFBD；（2）求直线MF与平面CDE所成角的正弦值；（3）线段BD上是否存在点N，使得直线CE平面AFN？
9、若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】证明：（1）因为ADEF为正方形，所以AFAD又因为平面ADEF平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD，所以AF平面ABCD所以AFBD解：（2）取AD中点O，EF中点K，连接OB，OK于是在ABD中，OBOD，在正方ADEF中OKOD，又平面ADEF平面ABCD，故OB平面AFEF，进而0BOK，即OB，OD，OK两两垂直分别以OB，OD，OK为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）于是，所以设平面CDE的一个法向量为n（x，y，z），则，令x5，则，则（5，0）设直线MF与平面CDE所成角为，则直线MF与平面CDE所成角的正弦值为：si
10、n|cos|（3）要使直线CE平面AFN，只需ANCD，设，则，所以，又 ，所以线段BD上存在点N，使得直线CE平面AFN，且22(本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率是，一个顶点是（）求椭圆的方程；（）设，是椭圆上异于点的任意两点，且试问：直线是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由试题解析：（）解：设椭圆的半焦距为依题意，得，且，解得所以，椭圆的方程是（）证法一：易知，直线的斜率存在，设其方程为将直线的方程代入，消去，整理得设，则，（1）因为，且直线的斜率均存在，所以， 整理得（2）因为，所以，（3）将（3）代入（2），整理得（4）将（1）代入（4），整理得解得，或（舍去）所以，直线恒过定点证法二：直线的斜率均存在，设直线的方程为将直线的方程代入，消去，得解得，或设，所以，所以以替换点坐标中的，可得从而，直线的方程是依题意，若直线过定点，则定点必定在轴上在上述方程中，令，解得所以，直线恒过定点11
