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1、鲁教版初二上数学知识点梳理第一章 三角形_C_B_A 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角；相邻两边的公共端点是三角形的顶点，三角形ABC用符号表示为ABC，三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.注意： （1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）ABC是三角形ABC的符号标记，单独的没有意义 三角形的分类： (1)按边分类：(2)按角分类： 三角形的主要线段的定
2、义：（1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段表示法：1.AD是ABC的BC上的中线.2.BD=DC=BC.注意：三角形的中线是线段；三角形三条中线全在三角形的内部；三角形三条中线交于三角形内部一点；中线把三角形分成两个面积相等的三角形（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段表示法：1.AD是ABC的BAC的平分线.2.1=2=BAC.注意：三角形的角平分线是线段；三角形三条角平分线全在三角形的内部；三角形三条角平分线交于三角形内部一点；用量角器画三角形的角平分线（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂
3、足之间的线段表示法：1.AD是ABC的BC上的高线.2.ADBC于D.3.ADB=ADC=90.注意：三角形的高是线段；锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形三条高所在直线交于一点如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形的直角顶点上.图5图7图6 4三角形的三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边5. 三角形的角
4、与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180；（三角形的内角和定理）图8(2) 直角三角形的两个锐角互余.6三角形的稳定性：三角形的三边长确定，则三角形的形状就唯一确定，这叫做三角形的稳定性注意：（1）三角形具有稳定性；（2）四边形没有稳定性.7三角形全等：全等形：能够完全重合的图形叫做全等形.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.对应顶点、对应边、对应角：把两个全等的三角形重合到一起.重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.三角形全等的判定方法：1. 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边
5、边边”或“SSS”）.2. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.3. 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.4. 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）.三角形全等的应用：测距离要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。（1）已知条件中有两角对应相等，可找：夹边相等（ASA）任一组等角的对边相等(AAS)（2）已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等(SAS)第三组边也相等(SSS)（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等(AAS 或 ASA)夹等角的另一
6、组边相等(SAS)第二章 轴对称轴对称现象1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)(2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。例:圆的对称轴是它的直径( ) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线)；角的对称轴是它的角平分线( ) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线)；正方形的对角线是正方形的对称轴( ) 对角线也是线段而不是直线。1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这
7、个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点2.轴对称: (1)对于两个图形，如果沿一条直线折叠后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。(成轴对称的两图形本身可以不是轴对称图形)。 (2)轴对称图形与轴对称的关系:联系:都是沿一条直线折叠后能够互相重合；当把成轴对称的两个图形看成一个整体时,它是一个轴对称图形；区别:轴对称图形是一个图形,轴对称是两个图形之间的关系。
8、用坐标表示轴对称小结： 1.在平面直角坐标系中关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等；关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数；与X轴或Y轴平行的直线的两个点横（纵）坐标的关系；关于与直线X=C或Y=C对称的坐标点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为_ （x, -y）_.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为_（-x, y）_.简单的轴对称图形有两边相等的三角形叫等腰三角形。1.三线合一定理:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”,它们所在的直线就是等腰三角形的对称轴）。 注意:对于一般的等腰三角形,一定要说
9、清哪边上的中线、高和哪个角的平分线；等边三角形有三组三线合一,任意一边上的中线和高及其所对的角的平分线。2.等角对等边,等边对等角:如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等； 如果一个三角形有两个边相等，那么它们所对的角也相等。3.角平分线定理:角平分线上的任意一点到角的两边的距离(垂线段)相等。4.中垂线定理(1)概念:既垂直又平分线段的直线叫垂直平分线,简称中垂线； (2)定理:垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离(与端点的连线)相等。（3）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等5.（等腰三角形)知识点回顾1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角
10、相等。（等边对等角）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）理解：已知等腰三角形的一线就可以推知另两线。2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）6、（等边三角形）知识点回顾1.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600 。2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。探索轴对称的性质1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分；2.轴对称图形对应线段相等，对应
11、角相等。利用轴对称设计图案1.画点A关于直线L的对应点A: 1、过点A作对称轴L的垂线，垂足为B2、延长AB至A，使得B A=AB3、点A就是点A关于直线L的对应点2.画线段AB关于L的对应线段AB: 1、过点A作对称轴L的垂线A A，使CA=C A2、过点A作对称轴L的垂线B B，使DB=DB3、连接AB，AB即是关于直线L的对应线段。第三章 勾股定理探索勾股定理勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么a2 +b2=c2 ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(一个直角三角形,以它的两直角边为边长所作的两正方形面积之和等于以它的斜边为边长所作的正方形的面积) 在我
12、国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦。注意:电视机有多少英寸,指的是电视屏幕对角线的长度。勾股数1.勾股定理的逆定理:若三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2，则该三角形是直角三角形。在ABC中, a，b，c为三边长,其中 c为最大边,若a2 +b2=c2,则ABC为直角三角形；若a2 +b2c2 ,则ABC为锐角三角形；若a2 +b2c2 ,则ABC为钝角三角形。2.勾股数:满足a2 +b2=c2 的三个正整数(即能构成一个直角三角形三边的一组正整数)，称为勾股数(勾股数是正整数)。规律:一组能构成直角三角形的三边的数,同时扩大或缩小同一倍数(即同
13、乘以或除以同一个正数),仍能够成直角三角形。一组勾股数的倍数不一定是勾股数,因为其倍数可能是小数,只有整数倍数才仍是勾股数。常用勾股数:3,4,5(三四五) 9,12,15(3,4,5的三倍)5,12,13(5.12记一生) 8,15,17(八月十五在一起)6,8,10(3,4,5的两倍) 7,24,25(企鹅是二百五)勾股数须知:连续的勾股数只有3,4,5； 连续的偶数勾股数只有6,8,10。勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。根据勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方，另两边的平方和
14、；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和，如果相等则此三角形是直角三角形。不要盲目比较其中任意一边平方与另两边的平方和的关系。勾股定理的作用：勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，其作用有：(1)已知直角三角形的任两边，求第三边问题；(2)证明三角形中的某些线段的平方关系；(3)作长为无理数的线段.注意：若已知直角三角形的两边求第三边时，先确定是直角边还是斜边。若求直角边，则利用勾股定理的变形式或；若求斜边，则利用c=a+b；若不能确定则分以上两种情况讨论。题型一：直接考查勾股定理例.在中， 分析：直接应用勾股定理已知，求的长 解：已知，求的长 解：题型二：应用勾股定理建立方程例.在中，于，已知直角三角形的两直角边长之比为，斜边长为，则这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为，斜边长为，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可根据勾股定理列方程求解解：，设两直角边的长分别为，设两直角边分别为，则，可得例.如图中，求的长分析：此题将勾股定理与
