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1、莆田二中莆田二中 2011 20122011 2012 学年高二数学第七学段考试卷 理科 学年高二数学第七学段考试卷 理科 考试时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题所给出的四个备选项中 只有一项是符合题目要求的 1 复数 i 为虚数单位 等于 2 1 i i A 1 B i C 2 i D 2 2i 2 因为指数函数是增函数 大前提 而是指数函数 小前提 所以 x ya 1 3 x y 是增函数 结论 上面推理的错误是 1 3 x y A 大前提错导致结论错 B 小前提错导致结论错 C 推理形式错导致结论错 D 大前提和
2、小前提错都导致结论错 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于 60 时假设正确的是 A 假设三内角都不大于 60 B 假设三内角至少有一个大于 60 C 假设三内角都大于 60 D 假设三内角至多有两个大于 60 4 由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则 类比得到 mnnm a bb a AA 类比得到 mn tmtnt ab ca cb c AAA 类比得到 0 tmtxtmx 0 pa px pax AA 类比得到 m nm n Aa ba b AA 以上的式子中类比得到的结论正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 5 将 4 名新来的同学分配到 A B C
3、 三个班级中 每个班级至少安排 1 名学生 其中甲同 学不能分配到 A 班 那么不同的分配方案有 A 18 种 B 24 种 C 54 种 D 60 种 6 若展开式中各项系数和为 1024 则展开式中含 x 的整数次幂的项共有 1 3 nx x A 6 项 B 5 项 C 3 项 D 2 项 7 已知函数其导数的图象 32 f xaxbxc fx 如图所示 则函数的极小值是 f x A B abc 34abc C D 32ab c 8 甲罐中有 5 个红球 2 个白球和 3 个黑球 乙罐中有 4 个红球 3 个白球和 3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐 分别记 A1 A2和 A3为由
4、甲罐取出的球是红球 白 球和黑球的事件 再从乙罐中随机取出一球 以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件 则 事件 B 与事件 A1相互独立 A1 A2 A3是 2 5 P B 1 5 11 P B A y O1 2 x 两两互斥事件 以上结论中正确的是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9 若的图象如图所示 定义 yf x 0 0 1 x F xf t dtx 则下列对的性质描述正确的有 F x 上的增函数 0 1 F x 是 F xf x 上的减函数 0 1 F x 是 00 0 1 1 xFf x 使得 A 2 B 1 2 C 1 2 4 D 2 3 4 10 若函数图象上存
5、在三点 A B C 使 则称此函数有 中位点 yf x ABBC 下列函数 中 cosyx 1yx 3 sin2yxx 2 cosyxx 有 中位点 的函数是 A B C D 二 填空题 本大题共 5 小题 每小题 4 分 共 20 分 把答案填在答题卡相应位置上 11 设的共轭复数 若复数为虚数单位 则 zz为复数1 zi i z zz A 12 1 0 2 x xe dx 13 在的展开式中的系数等于 5 2 2 x x 1 x 14 用数学归纳法证明不等式的过程中 由推导 11113 1224nnnn A A A nk 时不等式的左边增加的式子是 1nk 15 设 S 为复数集 C 的非
6、空子集 若对任意 都是 则称 SxyS xy xy xyS 为封闭集 下列命题 集合为封闭集 Sabi abi 为整数 为虚数单位 若为封闭集则一定有S0s 封闭集一定是无限集 若 S 为封闭集 则满足的任意集合 T 也是封闭集 其中真命题是 STC 写出所有真命题的序号 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 甲 乙两人射击气球的命中率分别为 0 7 0 4 如果每人射击 2 次 求甲击中 1 个气球且乙击中 2 个气球的概率 求甲 乙两人击中气球的个数相等的概率 17 本小题满分 13 分 数列 2 nnn aSna
7、 nN 满足 计算 1234 n a a aaa并由此猜想通项公式 用数学归纳法证明 1 中的猜想 y O1 x 18 本小题满分 13 分 已知函数 32 3f xxaxx 若上是增函数 求实数 a 的取值范围 1 f x 在区间 若的极值点 求上的最大值 1 3 xf x 是 1 f xa在 在 2 的条件下 是否存在实数 b 使得函数的图象与函数的图 g xbx f x 象恰有 3 个交点 若存在 请求出实数 b 的取值范围 若不存在 试说明理由 19 本小题满分 13 分 已知 2 11 m ab 2 ab n 分别就判断 m 与 n 的大小关系 并由此猜想对于任意的 11 12 aa
8、 bb 和 的大小关系及取得等号的条件 abRmn 与 类比第 1 小题的猜想 得出关于任意的相应的猜想并证明这个猜abcR 想 20 本小题满分 14 分 甲方是一农场 乙方是一工厂 由于乙方生产需占用甲方的资源 因此 甲方有权向 乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入 在乙方不赔付甲方的情况下 乙方的年利润 x 元 与年产量 t 吨 满足函数关系 若乙方每生产一吨产品必须赔付甲2000 xt 方 S 元 以下称 S 为赔付价格 实施赔付方案后 试将乙方的年利润 W 元 表示为年产量 t 吨 的函数 并求出 乙方获得最大利润的年产量 赔付后实际年利润 赔付前的年利润 赔付款总额 甲方每年受乙
9、方生产影响的经济损失金额 元 在乙方按照获得最大 2 0 002yt 利润的产量进行生产的前提下 甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价 格 S 是多少 净收入 赔付款总额 经济损失金额 21 本小题满分 14 分 已知函数处取得极值 22 0 1 xc f xcx x 在 求函数的解析式 f x 过函数图象上的任意点 P 作两条直线分别平行于直线 求证 f x0 xyx 和 这四条直线所围成的平行四边形的面积为定值 对于一般情形下的函数请给出类似于 II 的正确命题 2 0 axb g xab x 并予以证明 高二 理 参考答案 一 AACBB CDBCC 二 11 12 e 1
10、3 20 14 15 3i 1 21 22 kk 三 16 设甲击中 1 个气球且乙击中 2 个气球为事件 A 事件 A1为甲在 2 次射击中恰好 击中 1 个气球 事件 A2为乙在 2 次射击中恰好击中 2 个气球 则 11122 121222 0 30 7 0 4 0 0672P AP A APAP ACC AAA 甲 乙两人击中气球的个数相等为事件 B 事件 B1为甲 乙两人都击中 2 个气球 事年 B2为甲 乙两人恰好都击中 1 个气球 事件 B3为甲 乙两人都未击中气球 且 B1 B2 B3 两两互斥 3124 0 4 07 04 06 07 03 06 03 0 222 2 1 2
11、 1 2 220 2 321 CCCC BPBPBPBP 答 甲击中 1 个气球且乙击中 2 个气球的概率是 0 0672 甲 乙两人击中气球的个数相等 的概率是 0 3124 说明 没有记事件每小题扣一分 没有答扣一分 有列式且只有最终答案错每小题各扣一 分 17 当 a1 1 111 1 2naSa 时 当 12222 3 2 2 2 2 naaSaa 时 当 12333 3 2 3naaaSa 时 3 7 4 a 当时 4n 123444 2 4aaaaSa 4 15 8 a 由此猜想 1 21 2 n n n anN 证明 结论成立 1 1 11na 当时 密 封 线 莆田二中 年 班
12、 号姓名 假设 1 nk kkN 且时结论成立 即 2 1 21 2 k k k a 当时1nk 1111 2 1 22 kkkkkkk aSSkakaaa 1 22 kk aa 1 1 21 22 k k k k aa a 当时结论成立 3 1nk 由 知猜想成立 4 1 21 2 n n n a 说明 答案中所标的 1 2 3 4 没有的一步扣一分 18 因为上是增函数 2 323f xxax 1 f x 在 所以上恒有即上恒成立 1 fx 在 0fx 2 323 0 1 xax 在 所以必有 a 0 03 0 f 1 1 20 3 a fa 且 0 0 1 1 1 2 3 1 2 3 0
13、 min agxg x xxg x xax 上递减知 在由 恒成立 问题转化为另解 依题意 a 4 112 030 333 fa 即 令则 32 43f xxxx 12 1 0 3 3 fxxx 得 当 x 变化时 的变化情况如下 fx 上的最大值是 1 4 f x 在 1 6f 函数的图象与函数的图象恰有 3 个交点即方程 g xbx f x 恰有 3 个不等实根 32 43xxxbx 322 4300430 xxxbxxxxb 是其中一个根 方程 x 1 1 3 3 3 4 4 fx 0 f x 6单减 18单增 12 有两个非零不等实根 164 3 0 73 60 b bb b 且 存在
14、符合条件的实数 b b 的范围为 7 3 3 19 解 当 11 43 1 1232 aa mnmn bb 时 当时 故由此可以猜想 任意的有时取得等号abR 2 11 2 ab mnab ab 当且仅当 类比第 1 小题 对于任意的猜想 abcR 当且仅当 a b c 时取得等号 3 111 3 abc mn abc 证明如下 对于要证成立abcR 3 111 3 abc abc 只需证 即证 111 9 abc abc 93 aabbcc bcacab 即证 6 abacbc bacacb 因为对于有 同理abcR 22 aba b bab a A 22 acbc cacb 所以不等式 成
15、立 且要使 的等号成立必须 bacabc abaccb 且且 即当 a b c 时等号成立 证明 采用其他方法作答的 只要逻辑严密 言之有理 可以根据作答情况酌情给分 20 因为赔付价格 S 元 吨 所以乙方的实际年利润为 t 0 2000WtSt 由得 10001000 0 S t WSW tt 令 2 0 1000 tt S 当所以取得最大值 00 00ttwttw 时 当 时 0 ttw 时 因此乙方取得最大利润的年产量吨 2 0 1000 t S 说明 本小题也可用配方法 设甲方净收入为 V 元 则 t 0 2 0 002vstt 将代入上式得到甲方净收入 V 与 S 之间的函数关系式
16、 21000 t s 又 23 4 10002 1000 v ss 2323 255 10008 10001000 8000 s v sss 令020vs 得 当 S 20 时 所以 S 20 时 V 取得最大值00vv 当S 20时 因此甲方向乙方要求的赔付价格 S 为 20 元 吨时获得最大净收入 说明 没有答扣一分 21 解 因为所以 222 xcc f xx xx 2 2 1 1 fxc x 又 x 1 是函数的极值点于是因为 c 0 f x 2 1 1 1 0fc A 得 c 1 故函数的解析式为 f x 2 1 x f x x 平行四边形 OMPN 如图所示 设点 00 P xy 则且由于四边形 OMPN 是平行四边形 00 0 1 yx x 00 N x x 所以解得 0 0 11 0 M MPON yy kk x 即 00 11 0 M yM xx 则 于是平行四边形 OMPN 的面积为 00 0 1 1SOM xx x A 对于一般情形下的函数 类似于 2 的正确命题为 经过函数 2 0 axb g xab x 图象上的任意点 P 作两条直线分别平行于直线 x 0 和
