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1、福建省莆田市2019届高三数学下学期教学质量检测试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分。1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出和两个集合，再利用集合的运算来求解.【详解】由得： 由得： 本题正确选项：【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合复数的四则运算,化简计算z，即可。【详解】,故选B.【点睛】考查了复数的四则运算，关键将z表示成的形式，即可，难度中等。3.函数在的图象大致
2、为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合奇偶函数的判定，得出为奇函数，排除BD，计算，排除C选项，即可。【详解】，故为奇函数，排除B,D选项，所以，故，故选A。【点睛】考查了奇偶性的判定，同时计算特殊点的符号，即可，难度偏难。4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将角拆成，利用的范围得到的范围，从而求得的取值，利用两角和差公式来求解.【详解】 又 本题正确选项：【点睛】本题考查三角恒等变换中的两角和差公式的应用，关键在于能够利用已知角表示出所求角，易错点在于忽略角的范围，造成求解三角函数值时符号错误.5.如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗
3、实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算该几何体的底面积，结合体积计算公式，即可。【详解】结合题意，绘制图像，如图所示平面DEF的面积为，故该几何体的体积，故选B。【点睛】考查了三视图还原直观图，关键绘制出该几何体的图形，结合体积计算公式，即可，难度中等。6.在的展开式中，的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用的展开式通项，与和分别做乘法，分别求得的系数，作和求得整体的的系数.【详解】展开式的通项为：与相乘可得：当时得：与相乘可得：当时得：的系数为：本
4、题正确选项：【点睛】本题考查二项式定理求解的系数的问题，关键在于能够运用多项式相乘的运算法则，分别求出同次项的系数，合并同类项得到结果.7.已知曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义求解出切线方程，然后根据三角形面积建立方程，求得结果.【详解】由题意得：当时，切线方程为：，即：当时，；当时， 本题正确选项：【点睛】本题考查导数的几何意义，通过等于在处切线的斜率，求解出切线方程是本题的关键，属于基础题.8.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的
5、传统文化信息。现有一幅剪纸的设计图，其中的个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边。若在正方形内随机取一点，则该点取自黑色部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过对称性将圆阴影部分面积转化为一个小圆的面积，然后利用小圆半径表示出正方形对角线长，从而求解出正方形面积和圆的面积，作比得到概率.【详解】由图像对称可知，原题中阴影部分面积与下图中阴影部分面积一致，则阴影部分面积为一个小圆的面积设：，则， 正方形面积阴影部分面积所求概率本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积型，属于基础题.9.已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，且，为了得到函数的图象
6、，只要把图象上所有的点（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】根据对称轴之间距离得到，求出周期，然后得到；代入和求解出；再把和都整理成的形式，确定平移的方向和单位.【详解】相邻对称轴之间距离为 即 则 向右平移个单位长度得到本题正确选项：【点睛】本题考查已知三角函数图像求解析式、三角函数平移变换的问题，易错点在于最终平移时，忽略了左右平移只针对的变化量，导致求解错误.10.已知直线过抛物线：的焦点，交于两点，交的准线于点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过向量相等可以得到点纵
7、坐标，代入抛物线求得点坐标，从而求得直线方程，与抛物线联立可求得，利用两点间距离公式求得结果.【详解】由题意：作，可得直线时大致图像如下： 为中点又 又 的纵坐标为在抛物线上 又 所在直线方程为：可知 由抛物线对称性可知，当时，不变综上所述：本题正确选项：【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系、直线被抛物线截得的弦长问题，关键在于能够通过向量关系得到长度的关系，最终弦长可利用弦长公式也可以利用两点间距离公式来求解.11.在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据长度关系，可得，然后证得平面，得到，由此可证得：平面，由此可确定球心在上；假设球
8、的半径，利用勾股定理构造出方程，求解出，从而得到外接球表面积.【详解】由题意可知原题大致图形如下，其中分别为中点 又，为中点 平面 又，为中点 平面 为外接圆圆心根据外接球的性质可知，球心在直线上设则由可得：，解得：外接球表面积本题正确选项：【点睛】本题考查空间几何体的外接球问题，其中还考察了线面垂直的证明问题.解决问题的关键在于能够找到底面的垂线，从而确定球心的位置；确定球心后，常用的求半径的方法即为构造直角三角形，利用勾股定理来构建方程.12.已知分别是双曲线：的左，右焦点，是右支上过的一条弦，且，其中，若，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量线性运
9、算的基本原理可知，从而求得的值，由此可确定，根据双曲线定义可知，结合可求得，再利用和双曲线定义求得，；通过三边长可知，利用勾股定理构造出的等量关系，求得离心率.【详解】三点共线且，又，解得：或当，时，即又，即 不合题意当，时，即又，且 且可求得：， 由此可得： 即： 本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量线性运算、双曲线的定义和几何性质的综合应用.首先需要能够通过平面向量线性运算得到；对于双曲线的定义可以求解出相关的线段长度是解决问题的关键.求解离心率问题，主要的方法是建立关于的齐次方程，通过齐次方程得到离心率的方程.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
10、13.已知向量，若，则_.【答案】3【解析】【分析】写出的坐标，利用建立方程，求出.【详解】由题意得： 解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.14.若满足约束条件，则的最大值为_.【答案】4【解析】【分析】根据可行域，将变为，则的最大值即为在轴截距最小值，通过图像得到结果.【详解】由约束条件可知可行域如下图：将变为，则的最大值即为在轴截距最小值通过下图可知：当过点时，截距最小，则最大本题正确结果：【点睛】本题考查线性规划中型的最值问题的求解，属于基础题.15.的内角的对边分别为，已知，则面积的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据边角关系式求得，利用余弦定理得到，再利
11、用基本不等式得到，由此可求得面积的最大值.【详解】 由余弦定理可知： 当且仅当时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查解三角形中边角关系式的化简、三角形面积最值问题.解决此类面积最值问题的关键是通过余弦定理构造等量关系，利用基本不等式求得所需的最值.16.已知函数，若存在，使得，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】通过求导运算得到时的图像，从而得到整体的图像；由得到与的关系，从而将问题转化为求解的值域；利用二次函数来求解出值域.【详解】当时，当时，；当时，即在上单调递减；在上单调递增可知函数图像如下图所示：，可知：，即由图像可知：则；本题正确结果：【点睛】本题考查函数图像的应用、函数值域的求
12、解.关键在于能够准确得到函数图像，通过图像将问题进行转化，从而变成二次函数型的函数值域问题.三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。17.已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）通过成等比和求出和，求解出通项公式；（2）由通项公式可知，至小于等于零，由此可将分成两段来分别求解，最终得到分段函数.【详解】（1）设等差数列的公差为由，得又成等比数列，即，所以由可得：，所以数列的通项公式为（2）由，则当时，；当时，设数列的前项和为，则又故当时，当时，所以数列的前项和【点睛】本题考查等差数列通项公
13、式求解、前项和的求解，解题的关键在于能够利用通项公式确定的正负，从而将前项和分成两大类情况来分别求解.18.如图所示，边长为的菱形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点。已知点在线段上，且.（1）证明：平面；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过证明，可得，即，从而证得结论；（2）建立空间直角坐标系，表示出，再求解出平面的法向量，从而利用公式求出所求的正弦值.【详解】（1）在菱形中，连接，设，如下图所示：又分别是的中点，所以连接，如图所示：又所以，因为平面，平面所以平面（2）连接，由，得，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以两两垂直，以为坐标原点，的方向分别作为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：由，可知，所以，从而设，在中，由勾股定理得即，解得：在中，由勾股定理得：即，解得所以相关各点坐标如下：，所以，则设平面的法向量为则，即，取，得设直线与平面所成角为，则所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查线面平行的证明、直线与平面所成角的求解.立体几何中的线面角的求解，通常采用空间向量的方式，找到所求角与表示直线的向量和法向量夹角的关系，求解出所求结果.19.已知椭圆：的左，右焦点分别为，离心率为，是上的一个
