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1、_第20课_导数在研究函数中的应用(1)_1. 利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题2. 理解数形结合思想，转化思想在导数中的应用3. 理解函数在某点取得极值的条件.1. 阅读：选修11第8692页2. 解悟：教材第86页中间的关于函数的导数和单调性关系的结论怎么理解？它的逆命题是否成立，试举例说明你会利用导数说明(或证明)函数在给定区间上的单调性吗？函数的极值是怎么定义的？一个函数是否一定有极大值和极小值？有极大值或极小值的函数的极值是否唯一？函数的极值和导数具有怎样的关系？教材第88页的两张表格中的内容你理解吗？给你一个具体函数你会求它的极值点吗？我们知道函数的最大值和最小值是函数定
2、义域内的性质，函数的极值是对函数定义域内某一局部而言的，它们之间的关系为：最大值可能在极值点或函数的端点取到极值不一定是最值，最值也不一定是极值会做教材第87页的例2，例3，第89页的例2，第90页的例2，并能总结下列问题类型解题的一般步骤：一是利用导数判断或证明函数在给定区间上的单调性；二是利用导数求函数的单调区间；三是利用导数求函数的极值3)、8(4)题.基础诊断1. 函数f(x)3x26lnx的单调减区间是_(0，1)_解析：由题意得，f(x)6x，令f(x)<0，则6x<0.因为x>0，解得0<x<1，故函数f(x)的单调减区间是(0，1)2. 函数f(x
3、)(x>0)有极_大_值_解析：由题意得，f(x).令f(x)0，即0，解得x或x(舍去)当0<x<时，f(x)>0；当x>时，f(x)<0，所以函数f(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，)上单调递减，所以函数f(x)在x处取得极大值为.3. 函数f(x)x2cosx，x的最大值是_解析：由题意得，f(x)12sinx.令f(x)0，即12sinx0，解得sinx，即x，所以当x时，f(x)>0，函数f(x)在区间上单调递增；当x时，f(x)<0，函数f(x)在区间上单调递减，所以函数f(x)在x处，取得极大值，且是最大值为.4. 若函数f
4、(x)2x36x2m(m为常数)，在上有最大值3，则此函数在上的最小值为_37_解析：因为f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0得x0或x2.因为f(0)m，f(2)8m，f(2)40m，显然f(0)>f(2)>f(2)，故m3，最小值为f(2)37.范例导航考向 利用导数研究函数的最值问题例1已知函数f(x)ax21(a>0)，g(x)x3bx.(1) 若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求实数a，b的值(2) 当a3，b9时，若函数f(x)g(x)在区间k，2上的最大值为28，求实数k的取值范围解析：(1) 由题意得，f(x)2a
5、x，g(x)3x2b. 因为曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)g(1) 且f(1)g(1)，即a11b且2a3b，解得a3，b3.(2) 记h(x)f(x)g(x)，当a3，b9时，h(x)x33x29x1，所以h(x)3x26x9.令h(x)0得x13，x21.h(x)，h(x)在x(，2上的变化情况如下表所示：x(，3)3(3，1)1(1，2)2h(x)00h(x)2843由表可知当k3时，函数h(x)在区间k，2上的最大值为28；当3<k<2时，函数h(x)在区间k，2上的最大值小于28.因此实数k的取值范围是(，3已知yf(x)
6、是奇函数，当x(0，2)时，f(x)lnxax，当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，则实数a的值为_1_解析：因为yf(x)是奇函数，且当x(2，0)时，f(x)的最小值为1，所以当x(0，2)时，最大值为1.令f(x)a0，得x.当0<x<时，f(x)>0；当x>时，f(x)<0，所以f(x)maxfln1lna11，解得a1.考向 利用导数研究单调性、极值问题例2已知函数f(x)x3ax23x.(1) 若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2) 若x3是f(x)的极值点，求函数f(x)在区间1，a上的最小值和最大值解析：(1) f(x)3x2
7、2ax3.由题设知x1，)时f(x)0.因为x1，所以a，所以a3(当且仅当x1时取等号)，而当a3，x1时，f(x)0，所以a3.故实数a的取值范围为(，3(2) 由题设知f(3)0，即276a30，解得a5，所以f(x)x35x23x.令f(x)3x210x30，解得x3或x(舍去)当1<x<3时，f(x)<0，函数f(x)单调递减；当3<x<5时，f(x)>0，函数f(x)单调递增所以当x3时，f(x)有极小值，f(3)9.又f(1)1，f(5)15，所以函数f(x)在1，5 上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.设x1与x2是函数f(x)al
8、nxbx2x的两个极值点(1) 试确定常数a和b的值；(2) 试判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由解析：(1) 由题意得，f(x)2bx1.因为x1与x2是函数f(x)alnxbx2x的两个极值点，所以即解得所以a的值为，b的值为.(2) 由(1)得f(x)x1，所以由f(x)>0得1<x<2；由f(x)<0，得0<x<1或x>2，所以函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，在区间(0，1)和(2，)上单调递减，所以x1是函数f(x)的极小值点，x2是函数f(x)的极大值点.考向 利用导数求解不等式的恒成立问题例3已知函数f
9、(x)exex，其中e是自然对数的底数(1) 求证：函数f(x)是R上的偶函数；(2) 若关于x的不等式mf(x)exm1在区间(0，)上恒成立，求实数m的取值范围解析：(1) 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称；又因为f(x)exexf(x)，所以函数f(x)是R上的偶函数(2) 由mf(x)exm1得m(exex)exm1，即m(exex1)ex1，令tex(t>0)，因为exex1t1211，当且仅当t1时，等号成立，故m，令h(t).h(t).则当t>2时，h(t)>0；当0<t<2时，h(t)<0，所以当t2时，h(t)minh(2)，则m.综
10、上可知，实数m的取值范围为.注：分离参数后，也可利用基本不等式去处理m的范围【变式题】 设函数f(x)x2ln x，其中a为大于零的常数(1) 当a1时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2) 当x1，2时，不等式f(x)>2恒成立，求实数a的取值范围解析：(1) 当a1时， f(x)x(x>0)，令f(x)>0得x>1，令f(x)<0得0<x<1.故函数f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0，1)从而函数f(x)在区间(0，)上的极小值为f(1)，函数f(x)无极大值(2) 由题意得，f(x)x(x>0)不等式f(x)>2在1，
11、2上恒成立等价于函数f(x)在区间1，2上的最小值f(x)min>2.因为a>0，所以令f(x)0得x.当0<1，即0<a1时，函数f(x)在区间1，2上递增，所以f(x)minf(1)>2，解得0<a<；当2，即a4时，函数f(x)在区间1，2上单调递减，所以f(x)minf(2)ln2>2，无解；当1<<2，即1<a<4时，函数f(x)在区间1，上单调递减，在区间，2上单调递增，所以f(x)minf()lna>2，无解综上所述，所求实数a的取值范围为.自测反馈1. 若函数f(x)在x1处取极值，则实数a_3_解析
12、：f(x)，因为函数f(x)在x1处取极值，所以f(1)0，即0，解得a3.2. 已知a>0，b>0，若函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_9_解析：f(x)12x22ax2b，因为函数f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，所以ab6.又a>0，b>0，所以ab2，所以26，所以ab9，当且仅当ab3时取等号，所以ab的最大值为9.3. 已知f(x)x33x1，若对于在区间3，2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_20_解析：对于在区间3，2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，
13、等价于对于在区间3，2上的任意x，都有f(x)maxf(x)mint.因为f(x)x33x1，所以f(x)3x233(x1)(x1)，因为x3，2，所以函数f(x)在区间3，1)和(1，2上单调递增，在(1，1)上单调递减，所以f(x)maxf(2)f(1)1，f(x)minf(3)19，所以f(x)maxf(x)min20，所以t20，故实数t的最小值为20.4. 分别在曲线yex与直线yex1上各取一点M，N，则MN的最小值为_解析：要想求MN的最小值，则需过曲线上一点的切线与直线yex1平行，设切点为(x0，y0)曲线yex的导数yex，所以在点(x0，y0)的切线的斜率kex0，所以ex0e，即x01，所以切点为(1，e)，所以切线的方程为yee(x1)，即exy0，所以切线exy0与直线yex1的距离，故MN的最小值为.1. 导数的正负可以判断函数的单调性，但反过来未必2. 极值与导数的关系，极值点附近左右两侧的导数是否异号可以判断函数是否有极值的3. 求函数在给定区间上的最值时，需要注意区间端点的开闭对答案的影响4. 你还有哪些体悟，写下来：7
