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1、_第22课_导数在实际问题中的应用_能够运用所学的函数知识、思想和方法，运用所给的函数模型或构造相应的函数模型，将一些简单的实际问题转化为相应的导数问题，会利用导数方法求解有关利润最大、用料最省、效率最高等最优化问题.1. 阅读：选修11第9398页2. 解悟：实际生活中通常有哪些应用背景？构造的函数模型有哪些？总结求解实际问题的4题.基础诊断1. 如图，将边长为60cm的正方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起做成一个无盖的方底铁皮盒当铁皮盒底边长为_40cm_时，盒子的容积最大，最大容积是_16_000cm3_.解析：设铁皮盒底边长为xcm，容积为V，所以V(x)x2(
2、0<x<60)，则V(x)60xx2(0<x<60)令V(x)60xx20，解得x0(舍去)或x40.因为当x(0，40)时，V(x)>0；当x(40，60)时，V(x)<0.所以V(x)在区间(0，40)上为增函数；在区间(40，60)上为减函数，所以V(x)maxV(40)16 000.故当铁皮盒底边长40cm时，最大容积为16 000 cm3.2. 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27，且用料最省，则圆柱的底面半径为_3_解析：设圆柱的底面半径为r，则高为.所以S表面积r22rr2.令f(r)r2(r>0)，则f(r)2r.令f(x)>
3、0可得r>3，令f(x)<0可得0<r<3.所以f(r)在(0，3)上单调递减，在(3，)上单调递增，所以f(r)在r3时取得最小值，所以当圆柱的底面半径为3时，用料最省3. 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S的最小值是_解析：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3x，梯形的面积为(1x2)，所以S(0<x<1)令S(x)(0<x<1)，则S(x).令S(x)>0，得<x<1，令S(x)<0得0<x<，所以当x时，S(x)取极小值，也是最小值，S，故S
4、的最小值为.范例导航考向 利用导数研究用料最省、费用最低问题例1如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将直线l1与l2接通已知AB60m，BC80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90的角为.(1) 求矩形区域ABCD内的排管费用W关于的函数关系式；(2) 求排管的最小费用及相应的角.解析：(1) 如图，过点E作EMBC，垂足为M.由题意得，MEF，故MF60tan，EF，AEFC8060tan，所以W(8060tan)128060120
5、8060(其中00，tan0)(2) 设f()(其中00，tan0)，则f().令f()0得sin，即.列表如下：所以当时，有f()max，此时有Wmin8060.故排管的最小费用为8060 万元，相应的角. 已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL，则它的底面半径等于_时(用含有的式子表示)，可使所用的材料最省解析：设圆柱的高为h，表面积为S，容积为V，底面半径为r，则S2rh2r2，V250r2h，得h，则S2r2r22r2，S4r.令S0得r.因为S只有一个极值，所以当r时，S取得最小值，即此时所用材料最省考向 利用导数研究利润最大问题例2根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20
6、件，每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p(日产品废品率100%)已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元该车间的日利润y日正品赢利额日废品亏损额(1) 将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；(2) 当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？解析：(1) 由题意可知，y2x(1p)px(2) 考虑函数f(x)当 1x9时，f(x)2，令f(x)0，得x153；当1x<153时，f(x)>0，函数f(x)在1，153)上单调递增；当153<x9时，f(x)<0，函数f(x)在(153，9上单调递减所以当x1
7、53时，f(x)取得极大值，也是最大值又x是整数，f(8)，f(9)9，所以当x8时，f(x)有最大值；当10x20时，f(x)0，所以函数f(x)在10，20上单调减，所以当x10时，f(x)取得最大值.由于>，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大故当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是 千元某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数y117x2，生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数y22x3x2(x>0)，为使利润最大，应生产_6_千台解析：设利润为W万元，则W(x)y1y217x22x3x218x22x3，所以W(x)36x6x2.令W(x)
8、0，解得x6或x0(舍去)当x(0，6)，W(x)>0，W(x)单调递增；当x(6，)，W(x)<0，W(x)单调递减，故当x6时，W(x)取极大值，也是最大值，此时利润最大，即应生产6千台考向 利用导数研究长度、面积、体积最大(小)问题例3如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，ABC.管理部门欲在该地从M到D修建小路在上选一点P(异于M，N两点)，过点P修建与BC平行的小路PQ.(1) 设PBC，试用表示修建的小路与线段PQ及线段QD的总长度l；(2) 求l的最小值解析：(1) 延长QP，交AB于点E，则.在BPE中，EPB，E
9、BP，BEP，所以EPsin，EBsin，所以PQ2sin，QD2sin，所以l2sin2sin42sin.(2) l2cos1，令l<0，即2cos1<0，解得0<<；令l>0，即2cos1>0，解得<<.所以当时，l有最小值4，故l的最小值为百米自测反馈1. 设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，当其表面积最小时，底面边长为_解析：设底面边长为a，高为h，表面积为S.Va2h，所以h，则表面积S3ah2a2a2，所以Sa.令Sa0，解得a.当0<a<时，S<0，当a>时，S>0，所以当a时，S取极小值也是最小值，所
10、以底面边长为.2. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高度应为_cm_解析：设圆锥的高为h，则底面半径为，所以其体积V(202h2)h(0<h<20)，所以V(4003h2)令V0，即(4003h2)0，解得h或h(舍去)当0<h<时，V>0；当<h<20时，V<0，所以当h时，V取最大值，故其高度应为 cm.3. 若球的半径以2cm/s的速度膨胀，当半径为5cm时，表面积对时间的变化率是_80_解析：球的表面积为S4R2.由题意得2，所以t，所以，因为S8R，所以16R.当R5时，80，所以表面积对时间的变化率为80.
11、4. 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进，把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(万元)与处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y且每处理1吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，当处理量为多少吨时，平均每吨的处理成本最少？解析：由题易知，二氧化碳的平均处理成本P(x)当x10，30)时，P(x)x2，所以P(x)x，所以当x10，20)时，P(x)<0，函数P(x)在区间10，20)上单调递减；当x20，30)时，P(x)>0，函数P(x)在区间20，30)上单调递增，所以当x20时，P(x)取得最小值为P(20)48.当x30，50时，P(x)x4024040，当且仅当x，即x40时，P(x)取得最小值为P(40)40，因为48>40，所以当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少1. 解决实际问题的一般步骤就是四步八个字：审题、建模、求解、还原2. 最(极)值问题：工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最(极)值，利用导数求解3. 你还有哪些体悟，写下来：9
