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1、研究性课题 欧拉公式 了解欧拉定理的证明 会简单应用欧拉定理 培养学生发现问题 提出问题 解决问题 获取知识 运用知识的能力 学习目标 复习 1 多面体的定义 若干个平面多边形围成的几何体 2 多面体的有关概念 多面体的面 棱 顶点 4 凸多面体 把多面体的任何一个面延伸为平面 如果所有其他各面都在这个平面的同侧 这样的多面体叫做凸多面体 3 多面体的分类 四面体 五面体 六面体等 5 1 什么叫正多面体 两个特征 2 正多面体有哪几种 为什么 每个面都是有相同边数的正多边形 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体 叫做正多面体 正多面体只有五种 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面
2、体和正二十面体 1 分析正多面体顶点数V 面数F 棱数E的关系 一 发现欧拉公式 观察5个正多面体的顶点数 面数以及棱数 分别填在下面表内 46 V F E 2V F E 2V F E 2V F E 2V F E 2 8612 6812 201230 122030 猜想 多面体的顶点数V 面数F和棱数E之间的关系 V F E 2 2 验证一般简单多面体V E F的关系 582 66102 6592 107152 86122 6592 3 数出下列四个多面体的顶点数V 面数F 棱数E并填表 规律 4 6 4 8 6 12 6 8 12 9 8 15 V F E 2 结论 关系V F E 2不仅对
3、正多面体 棱柱 棱锥成立 而且对更多的多面体也都成立 5 8 5 12 12 24 7 8 12 4 数出下列四个多面体的顶点数V 面数F 棱数E并填表 满足 不满足 不满足 结论 关系V F E 2不是对所有多面体都成立 多面体 简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体 像以上那样的连续变形中 表面能变为一个球面的多面体 叫简单多面体 想一想 前面的多面体中 是简单多面体的有哪些 棱柱 棱锥 正多面体 凸多面体是简单多面体吗 猜想 简单多面体的顶点数V 面数F的和与棱数E之间存在的规律 V F E 2 欧拉公式 数学英雄 欧拉 瑞士数学家 13岁就成为巴塞尔大学的学生 17岁成为巴
4、塞尔有史以来的第一个年轻的硕士 欧拉从一开始就选择通过解决实际问题进行数学研究的道路 1726年 19岁的欧拉由于撰写了 论桅杆配置的船舶问题 而荣获巴黎科学院的资金 欧拉的成才还有另一个重要的因素 就是他那惊人的记忆力 他能背诵前一百个质数的前十次幂 能背诵罗马诗人维吉尔 Virgil 的史诗Aeneil 能背诵全部的数学公式 直至晚年 他还能复述年轻时的笔记的全部内容 高等数学的计算他可以用心算来完成 欧拉最先把对数定义为乘方的逆运算 并且最先发现了对数是无穷多值的 他证明了任一非零实数 有无穷多个对数 欧拉使三角学成为一门系统的科学 他首先用比值来给出三角函数的定义 使三角学跳出只研究三
5、角表这个圈子 欧拉对整个三角学作了分析性的研究 从最初几个公式解析地推导出了全部三角公式 还获得了许多新的公式 欧拉用a b c表示三角形的三条边 用 表示第个边所对的角 从而使叙述大大地简化 欧拉得到的著名的公式又把三角函数与指数函联结起来 在普及教育和科研中 欧拉意识到符号的简化和规则化既有有助于学生的学习 又有助于数学的发展 所以欧拉创立了许多新的符号 如用sin cos等表示三角函数 用e表示自然对数的底 用f x 表示函数 用 表示求和 用i表示虚数等 圆周率 虽然不是欧拉首创 但却是经过欧拉的倡导才得以广泛流行 而且 欧拉还把e i统一在一个令人叫绝的关系式中 欧拉在研究级数时引入
6、欧拉常数 这是继 e之后的又一个重要的数 欧拉不但重视教育 而且重视人才 当时法国的拉格朗日只有19岁 而欧拉已48岁 拉格朗日与欧拉通信讨论 等周问题 欧拉也在研究这个问题 后来拉格朗日获得成果 欧拉就压下自己的论文 让拉格朗日首先发表 使他一举成名 1735年 欧拉着手解决一个天文学难题 计算慧星的轨迹 这个问题需经几个著名的数学家几个月的努力才能完成 由于欧拉使用了自己发明的新方法 只用了三天的时间 但三天持续不断的劳累也使欧拉积劳成疾 疾病使年仅28岁的欧拉右眼失明 但他仍然醉心于科学事业 忘我地工作 晚年欧拉的左眼又失明了 但他用口授 别人记录的方法坚持写作 他撰写了 微积分原理 1
7、768年 积分学原理 第一卷在圣彼得堡出版 1770年第三卷出版 同年 他又口述写成 代数学完整引论 有俄文 德文 法文版 成为欧洲几代人的教科书 1771年 圣彼得堡一场大火 秧及欧拉的住宅 一位仆人冒着生命危险把欧拉从大火中背出来 可他的藏书及大量的研究成果都化为灰烬 大火以后他立即投入到新的创作之中 他完全凭着坚强的意志和惊人的毅力 回忆所作过的研究 欧拉的记忆力也确实罕见 他能够完整地背诵出几十年前的笔记内容 然后口授 由他的长子记录 他用这种方法又发表了论文 多篇以及多部专著 这几乎占他全部著作的半数以上 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家 他从19岁开始发表论文 直到76岁 他
8、那不倦的一生 共写下了886本书籍和论文 其中在世时发表了700多篇论文 甚至在他死后 彼得堡科学院为了整理他的著作 整整用了47年 就科研成果方面来说 欧拉是数学史上或者说是自然科学史上首屈一指的 欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支 对物理力学 天文学 弹道学 航海学 建筑学 音乐都有研究 欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程 有的历史学家把欧拉和阿基米德 牛顿 高斯列为有史以来贡献最大的四位数学家 依据是他们都在创建纯粹理论的同时 还应用这些数学工具去解决大量天文 物理和力学等方面的实际问题 他们的工作是跨学科的 他们不断地从实践中吸取丰富的营养 但又不满足于具体问题的解决 而是把宇宙
9、看作是一个有机的整体 力图揭示它的奥秘和内在规律 由于欧拉出色的工作 后世的著名数学家都极度推崇欧拉 大数学家拉普拉斯说过 读读欧拉 这是我们一切人的老师 被誉为数学王子的高斯也说过 对于欧拉工作的研究 将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校 并且没有别的可以替代它 两个结论 简单多面体的棱数E等于表面多边形的边数之和除以2 若以简单多面体的一个顶点为其一端有n条棱 也有n个面 则所有表面多边形的顶点数之和除以n 即多面体的顶点数V 思考1 多面体的面数是F 顶点数是V 棱数是E 则平面图形中的多边形个数 顶点数 边数分别为 思考2 设多面体的F个面分别是n1 n2 nF边形 各个面的内角总和
10、是多少 n1 2 1800 n2 2 1800 nF 2 1800 n1 n2 nF 2F 1800 思考3 n1 n2 nF和多面体的棱数E有什么关系 n1 n2 nF 2E 问题 如何证明欧拉公式 讨论 多边形内角和 E F 3600 思考4 设平面图形中最大多边形 即多边形ABCDE 是m边形 则它和它内部的全体多边形的内角总和是多少 2 m 2 1800 V m 3600 V 2 3600 E F 3600 V 2 3600 讨论 V F E 2 欧拉公式 问题 如何证明欧拉公式 例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家 C60是有60个C原子组成的分子 它
11、结构为简单多面体形状 这个多面体有60个顶点 从每个顶点都引出3条棱 各面的形状分别为五边星或六边形两种 计算C60分子中形状为五边形和六边形的面各有多少 解 设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和y个 由题意有顶点数V 60 面数 x y 棱数E 3 60 根据欧拉公式 可得60 x y 3 60 2 另一方面 棱数也可由多边形的边数来表示 即 5x 6y 3 60 由以上两个方程可解出x 12 y 20 答 C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20个 例2 有没有棱数是7的简单多面体 解 假设有一个简单多面体的棱数E 7 根据欧拉公式得V F E 2 9 因为多面体的顶点数V 4 面数F 4 所以只有两种情形 V 4 F 5或V 5 F 4 但是 有4个顶点的多面体只有4个面 而四面体也只有四个顶点 所以假设不成立 没有棱数是7的简单多面体 小结 猜想 证明 应用 空间问题平面化 V F E 2 欧拉公式
