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1、学习资料 精品文档 北师大版八年级数学下册各章知识要点总结 第一章三角形的证明 一 全等三角形判定定理 1 三组对应边分别相等的两个三角形全等 SSS 2 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 3 有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 4 有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 AAS 5 直角三角形全等条件有 斜边及一直角边对应相等的两个直角三 角形全等 HL 二 等腰三角形的性质 定理 等腰三角形有两边相等 定义 定理 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 这就是 说 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中
2、线 底边上的高互相重合 三线合一 推论 2 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于60 等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 三 等腰三角形的判定 1 有关的定理及其推论 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简写成 等角对等边 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 推论 2 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形 学习资料 精品文档 推论 3 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直 角边等于斜边的一半 2 反证法 先假设命题的结论不成立 然后推导出与定义 公理 已证定理或已知条件相矛盾的结果 从而证明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法 四
3、直角三角形 1 直角三角形的性质 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 在直角三角形中 如果一个锐角等于30 那么它所对的直角边等 于斜边的一半 在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半 2 直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角 三角形 3 互逆命题 互逆定理 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论 和条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命 题的逆命题 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它也是一个定理 这 两个定理称为互逆定理 其中一个定理称为另一个定理的逆定理 五 线段的垂直平分线角平分线 1
4、线段的垂直平分线 学习资料 精品文档 性质 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 并且这一点到三个顶点的距 离相等 外心 判定 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线 上 2 角平分线 性质 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 三角形三条角平分线相交于一点 并且这一点到三条边的距离相等 内心 判定 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平 分线上 3 逆命题 互逆命题的概念 及反证法 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组 一 一般地 用符号 或 或 连接的式 子叫做不等式 1 能使不等式成立的未知数的值 叫做不
5、等式的解 2 不等式的解不唯一 把所有满足不等式的解集合在一起 构成不 等式的解集 3 求不等式解集的过程叫解不等式 4 由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式 组 5 不等式组的解集 一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部 学习资料 精品文档 分 6 等式基本性质1 在等式的两边都加上 或减去 同一个数或整 式 所得的结果仍是等式 基本性质2 在等式的两边都乘以或除以同一个数 除数不为 0 所得的结果仍是等式 二 不等式的基本 性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向 不变 注 移项要变号 但不等号不变 性质 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正
6、数 不等号的方向 不变 性质 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向 改变 三 解不等式的步骤 1 去分母 2 去括号 3 移项 合并同类项 4 系数化为1 四 解不等式组的步骤 1 解出不等式的解集 2 在同一数轴表示不等式的解集 3 写出不等式组的解集 五 列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤 1 审题 2 设未知数 找 不等量 关系式 3 设元 根据不等量 关系式列不等式 组 4 解不等式组 检验并作答 学习资料 精品文档 第三章图形的平移与旋转 一 平移定义和规律 1 平移的定义 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这样的图形运动称为平移 关键 a 平移不
7、改变图形的形状和大小 也不会改变图形的方向 但改变图形的位置 b 图形平移三要素 原位置 平移方向 平移距离 2 平移的规律 性质 经过平移 对应点所连的线段平行且相等 对 应线段平行且相等 对应角相等 注意 平移后 原图形与平移后的图形全等 3 简单的平移作图 平移作图要注意 方向 距离 整个平移作图 就是把整个图案 的每一个特征点按一定方向和一定的距离平行移动 二 旋转的定义和规律 1 旋转的定义 在平面内 将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一 个角度 这样的图形运动称为旋转 这个定点称为旋转中心 转动的 角称为旋转角 关键 a 旋转不改变图形的形状和大小 但会改变图形的方向 也 改变图形
8、的位置 b 图形旋转四要素 原位置 旋转中心 旋转方向 旋转角 2 旋转的规律 性质 经过旋转 图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的 学习资料 精品文档 角度 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 对应 点到旋转中心的距离相等 旋转前后两个图形的对应线段相等 对应角相等 注意 旋转后 原图形与旋转后的图形全等 3 简单的旋转作图 旋转作图要注意 旋转方向 旋转角度 整个旋转作图 就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的 旋转方向和一定的旋转角度旋转移动 三 中心对称 1 中心对称的有关概念 中心对称 对称中心 对称点 把一个图形绕着某一点旋转180 如果它能够与
9、另一个图形重合 那么称这两个图形关于这点对称 也称这两个图形成中心对称 这个 点叫做对称中心 两个图形中的对应点叫做对称点 2 中心对称的基本性质 1 成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质 2 成中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被 对称中心平分 3 中心对称图形的有关概念 中心对称图形 对称中心 把一个平面图形绕某一点旋转180 如果旋转后的图形能够和原来 的图形互相重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点就是它的 对称中心 4 中心对称与中心对称图形的区别与联系 学习资料 精品文档 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形 那么这个整体就是中心 对称图形 反过来 如果
10、把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一 条直线分成两个图形 那么这两个图形成中心对称 3 图形的平移 轴对称 折叠 中心对称 旋转 的对比 5 图案的分析与设计 首先找到基本图案 然后分析其他图案与 它的关系 即由它作何种运动变换而形成 图案设计的基本手 段主要有 轴对称 平移 旋转三种方法 第四章分解因式 一 公式 1 ma mb mc m a b c 2 22 a b a ba b 3 2 22 a2ab bab 二 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多 项式分解因式 1 把几个整式的积化成一个多项式的形式 是乘法运算 2 把一个多项式化成几个整式的积的形式 是因式分解
11、 3 ma mb mc m a b c 4 因式分解与整式乘法是相反方向的变形 三 把多项式的各项都含有的相同因式 叫做这个多项式的各项的公 因式 提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的 形式 学习资料 精品文档 找公因式的一般步骤 1 若各项系数是整系数 取系数的最大公约 数 2 取相同的字母 字母的指数取较低的 3 取相同的多项式 多项式的指数取较低的 4 所有这些因式的乘积即为公因式 四 分解因式的一般步骤为 1 若有 先提取 若多项式各项有公因式 则再提取公因 式 2 若多项式各项没有公因式 则根据多项式特点 选用平方差公式 或完全平方公式 3 每一个多项式都要分解
12、到不能再分解为止 五 形如 22 a 2ab b或 22 a 2ab b的式子称为完全平方式 六 分解因式的方法 1 提公因式法 2 运用公式法 第五章分式与分式方程 1 分式的定义 如果A B表示两个整式 并且B中含有字母 那么 式子 B A 叫做分式 1 分式与整式最本质的区别 分式的字母必须含有字母 即未知 数 分子可含字母可不含字母 2 分式有意义的条件 分母不为零 即分母中的代数式的值不能 为零 3 分式的值为零的条件 分子为零且分母不为零 2 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的 学习资料 精品文档 整式 分式的值不变 用式子表示或其中 A B C 为整式 0
13、C 注 1 利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形 不改变 分式值的大小 只改变形式 2 应用基本性质时 要注意C 0 以及隐含的 B 0 3 注意 都 分子分母要同时乘以或除以 避免只乘或只 除以分子或分母的部分项 或避免出现分子 分母乘除的 不是同一个整式的错误 3 分式的通分和约分 关键先是分解因式 1 分式的约分定义 利用分式的基本性质 约去分式的分子与分 母的公因式 不改变分式的值 2 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 3 分式的通分的定义 利用分式的基本性质 使分子和分母同乘 适当的整式 不改变分式的值 把几个异分母的分式化成分母 相同的分式 4 最简公分母 取 各个分母 的
14、 所有因式 的最高次幂的积 做公分母 它叫做最简公分母 4 分式的符号法则 分式的分子 分母与分式本身的符号 改变其中任何两个分式的 值不变 用式子表示为 注 分子与分母变号时 是指整个分子或分母同时变号 而不是 CB CA B A CB CA B A 学习资料 精品文档 指改变分子或分母中的部分项的符号 5 分式的运算 1 分式乘法法则 分式乘分式 用分子的积作为积的分子 分母 的积作为分母 2 分式除法法则 分式除以分式 把除式的分子 分母颠倒位置 后 与被除式相乘 3 分式乘方法则 分式乘方要把分子 分母分别乘方 4 分式乘方 乘除混合运算 先算乘方 再算乘除 遇到括号 先算括号内的 不
15、含括号的 按从左到右的顺序运算 5 分式的加减法则 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相 加减 异分母的分式相加减 先通分 变为同分母分式 然后再加减 abab acadbcadbc cccbdbdbdbd 7 整数指数幂 1 任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即 0 1 0 aa 2 任何一个不等于零的数的 n 次幂 n 为正整数 等于这个数 的 n 次幂的倒数 即 n n a a 1 0a 注 分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂 即 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a n n n b a b a nn b a a b 学习资料 精品文档
16、3 科学计数法 把一个数表示为 a 10 n 1 a 10 n 为整数 的形式 称为科学计数法 注 1 绝对值大于 1 的数可以表示为 a 10 n 的形式 n 为正整 数 2 绝对值小于 1 的数可以表示为 a 10 n 的形式 n 为正整 数 3 表示绝对值大于10 的 n 位整数时 其中 10 的指数是1n 4 表示绝对值小于1 的正小数时 其中 10 的指数是第一个 非 0 数字前面 0 的个数 包括小数点前面的一个0 4 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂 m n 是整 数 1 同底数的幂的乘法 nmnm aaa 2 幂的乘方 mnnm aa 3 积的乘方 nnn baab 4 同底数的幂的除法 nmnm aaa a 0 5 商的乘方 n n n b a b a b 0 8 分式方程 含分式 并且分母中含未知数的方程 分式方程 1 增根 分式方程的增根必须满足两个条件 1 增根是最简公分母为0 2 增根是分式方程化成的整式 方程的根 2 分式方程的解法 1 能化简的先化简 2 方程两边同乘以最简公分母 化为整式 方程 3 解整式方程 4 验根 学习资料 精品文档 注
