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1、第83课合 情 推 理1. 能利用归纳和类比进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2. 会运用所学知识对结论进行判断和证明.1. 阅读：选修12第2731页(理科阅读选修22相应内容).2. 解悟：合情推理，归纳推理和类比推理的过程分别是怎样的？各有哪些特点？归纳推理和类比推理得到的结论一定是正确的吗？体会并认识合情推理在数学发现中的作用.3. 在教材空白处，完成选修12第33页练习第3、4题，第35页练习第2、3题(理科完成选修22相应任务).基础诊断1. 数列1，3，7，13，x，31，中的x21.2. 设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8成等差数列. 类
2、比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列.解析：设等比数列bn的公比为q，首项为b1，则T4bq6，T8bq28，T12bq66，所以bq22，bq38，即T4，故T4，成等比数列.3. 已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得：xn1(nN*)，则ann.解析：当n1时，a1；当n2时，a224；当n3时，a3327，所以当xn1(nN*)时，ann.4. 在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则.解析：如图，正四面体PABC，
3、D为底面三角形ABC的中心，设正四面体的棱长为a，则ADa，PDa.设OAR，ODr，则R2，所以Ra，ra，所以正四面体的外接球和内切球的半径之比是31，故正四面体PABC的内切球体积与外接球体积之比. 范例导航考向 归纳推理问题例1如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照图中排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为.解析：该数阵前n1行共用了123(n1)个数，因此，第n行(n3)从左向右的第3个数，是全体正整数中的第3个，即为. 如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，1)处标2，点(0，1)处标3，点
4、(1，1)处标4，点(1，0)处标5，点(1，1)处标6，点(0，1)处标7，以此类推，则标签2 0162的格点的坐标为(1 008，1 008).解析：观察图中的点，点(0，0)处标0，即02，点(1，1)处标4，即22，点(2，2)处标16，即42，由此推断点(n，n)处标(2n)2，当(2n)22 0162时，n1 008，故标2 0162的格点的坐标为(1 008，1 008).【备用题】 已知函数f(x)(x，a0)，满足f(1)log162，f(2)1.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 已知数列xn的项满足xn1f(1)1f(2)1f(3)1f(n)，试求x1，x2，x3，x
5、4；(3) 猜想数列xn的通项公式.解析：(1) 因为f(1)log162，f(2)1，代入f(x)，得 解得所以f(x)(x1).(2) x11f(1)1， x2，x3，x4.(3) 把x1，x2，x3，x4的值分别写成：x1，x2，x3，x4， 于是归纳猜想，得xn.考向 类比推理问题例2已知结论“等边三角形的中心将它一边上的高所分两段之比是21”.(1) 对于正四面体，有类似的结论吗？请表示出来；(2) 请用数学知识证明你的结论或说明其成立.解析：(1) 正四面体的中心将它一个面上的高所分两段之比为31.(2) 设正四面体ABCD的中心为O，分别连结OA，OB，OC，OD.由正四面体的性
6、质可知，其中心到各个面的距离相等，设为r，其四个面的面积均相等，设为S，设其高为h，则该四面体的体积VVOABCVOBCDVOCDAVODAB，所以ShSrSrSrSrSr，所以h4r，即正四面体的中心将它一个面上的高所分成两段长的比为31.已知命题：在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆1(mn0，p)上，椭圆的离心率是e，则.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是在平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A(p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线1(m0，n0，p)上，双曲线的离心率是e，则.解析：根据椭圆的离心率的说法可以写出推理的前提，在平面直角
7、坐标系中，ABC的顶点A(p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线1(m0，n0，p)上，双曲线的离心率是e.因为，所以由正弦定理得.自测反馈1. 观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812归纳猜想一般凸多面体中，F，V，E所满足的等式是FVE2.2. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则他们的面积之比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为12，则它们的体积之比为18.解析：在空间内，若两个正四面体的棱长之比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以它们的体积之比为18.3. 在平面几何中，有勾股定理：
8、“设ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB2AC2BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两相互垂直，则SSSS.”解析：因为三个侧面ABC，ACD，ADB两两垂直，所以ABAC，ACAD，ADAB，则由勾股定理得AB2AC2BC2，AC2AD2CD2，AD2AB2BD2.设ABx，ACy，ADz，所以BC，CD，BD.根据余弦定理可得cosBCD，则sinBCD，所以由三角形面积公式得SBCDBCCDsinBCD，即Sx2y2y2z2x2z2SSS.4. 在平面直角坐标系x
9、Oy中，设ABC的顶点坐标分别为A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，点P(0，p)在线段OA上(异于端点).设a，b，c，p均为非零实数，直线BP，CP分别交AC，AB于点E，F. 一同学已正确算出直线OE的方程为xy0，则OF的方程为xy0. 解析：由截距式可得直线AB：1，直线CP：1，两式相减得xy0，显然，直线AB与CP的交点F满足此方程.又原点O也满足此方程，故直线OF的方程为xy0.1. 归纳推理和类比推理是合情推理的两种常见形式，合情推理得到的结论是猜测的性质，不全正确.2. 归纳推理是从个别事实中推演出一般性的结论，是从特殊现象到一般现象的推理.通常归纳的个体数目越多，那么推广的一般性命题也会越可靠. 3. 你还有哪些体悟，写下来：7
