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1、_第37课_基本不等式及其简单应用(1)_1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数定理，了解其证明过程2. 能熟练地应用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1. 阅读：必修5第9698页2. 解悟：什么是教材规定的基本不等式？需要怎样的使用条件？证明其正确性有哪几种证法？基本不等式有几个常用的变形形式及其使用的条件？“和定积最大”“积定和最小”是怎样得到的？请用符号语言表示出来；教材必修5第98页关于基本不等1. 已知mn8(m>0，n>0)，则mn的最小值为_4_解析：因为m>0，n>0，所以mn24，当且仅当mn2时，等号成立2. 下列命题正确的是_(填
2、序号)函数yx的最小值是2；函数ysinx，x的最小值是2；函数y的最小值是2；函数y23x的最大值是24.解析：对于，当x>0时，yx2，当且仅当x1时取等号，当x0时，yx无意义，当x<0时，yx2，当且仅当xy1时取等号，故yx的值域为(，22，)，无最小值；对于，因为x，所以sinx(0，1，ysinx2，当且仅当sinx1，即x时取等号，故正确；对于，y，令t，则yt，t2，)因为yt在2，)上为增函数，所以ymin2，故错误；对于，当x>0时，y23x2224，当且仅当x时取等号当x<0时，y23x24.当且仅当x时取等号，故错误3. 已知x<，则函数
3、f(x)4x2的最大值为_1_解析：因为x<，所以4x5<0，所以y4x24x533(54x)321，当且仅当x1时取等号，所以f(x)4x2的最大值为1.4. 设a>0，b>0，且ab1，则的最小值为_4_解析：因为ab1，所以(ab)112224，当且仅当，即ab时，取等号范例导航考向 通过简单构造和变形，运用基本不等式求最值例1求函数f(x)x(x>2)的最小值解析：因为x>2，所以x2>0，所以f(x)x22224，当且仅当x2，即x3(2，)时取等号所以当x3时，函数f(x)min4.当x>0时，求函数f(x)的最大值解析：因为x>
4、;0，所以f(x)1，当且仅当x，即x1(0，)时，取等号，所以当x1时，函数f(x)max1.【注】 本例突出构造x型，利用基本不等式求最值，解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在考向 通过常值代换，运用基本不等式求最值例2已知x>0，y>0，且2xy1，求的最小值解析：方法一：因为2xy1，又因为x>0，y>0，所以>0，>0，所以33232，当且仅当，即y22x2，yx，即当x1，y1时取等号，所以当x1，y1时，的最小值为32. 方法二：因为2xy1，又因为x>0，y>0，所以>0，>0，所以(2xy)33232，以下同方法一
5、如图，已知函数yaxb(b>0)的图象经过点(1，3)求的最小值. 解析：因为函数yaxb(b>0)的图象经过点(1，3)，所以ab3.又由图象可知a>1.因为b>0，所以1<a<3，a1>0，所以2，当且仅当，即a，b时取得等号，所以的最小值为.【注】 本例突出“将式子中的常数代换成需要的代数式”，通过计算变形转化为含有x的形式，利用基本不等式求最值，解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在.考向 参数的取值范围与恒成立问题例3设k>0，若关于x的不等式kx5在区间(1，)上恒成立，求实数k的取值范围解析：因为x>1，所以x1>0.因
6、为k>0，kx5，所以k(x1)5k，所以k(x1)24，当且仅当k(x1)时取等号所以45k，即()2450，所以1，所以k1，所以实数k的取值范要关注式子的结构形式及转化途径，在运用基本不等式时，紧紧抓住“正、定、等”. 【变式题】 已知不等式x2a|x|10 对任意xR恒成立，求实数a的取值范围解析：当x0时，不等式x2a|x|10恒成立；当x0时，因为x2a|x|10，所以a，因为|x|2，当且仅当x1时取等号，所以2，所以a2.自测反馈1. 已知0<x<4，则的最小值为_解析：因为()11，当且仅当，即x时取等号2. 已知正实数x，y满足16，则xy的最小值为_8_
7、解析：因为正实数x，y满足(x1)(y1)16，所以x1，所以xyy128，当且仅当y3，x5时取等号，所以xy的最小值为8.3. 设x，yR，a>1，b>1，若axby3，ab2，则的最大值为_1_解析：因为axby3，所以xloga3，ylogb3，所以log3alog3blog3ablog31，当且仅当ab时取等号4. 已知正数x，y使得x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_2_解析：因为正数x，y满足x2(xy)恒成立，所以.因为2x2y，所以2，所以2，所以实数的最小值为2.1. 应用基本不等式求最大(小)值时，要注意“一正、二定、三相等”2. 利用基本不等式求最值中，条件最值问题往往运用常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值3. 你还有哪些体悟，写下来：7
