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1、第二节综合法 分析法与反证法 1 直接证明 证明的结论 推理论证 成立 充分条件 综合法和分析法有什么区别与联系 提示 分析法的特点是 从 未知 看 需知 逐步靠拢 已知 其逐步推理 实际上是寻求它的充分条件 综合法的特点是 从 已知 看 可知 逐步推向 未知 其逐步推理 实际上是寻找它的必要条件 分析法与综合法各有其特点 有些具体的待证命题 用分析法或综合法均能证明出来 往往选择较简单的一种 2 间接证明 反证法 假设原命题 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫反证法 不成立 矛盾 用反证法证明问题时要注意以下三点
2、 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实相矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻求使结论成立的 A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 等价条件 答案 A2 否定 自然数a b c中恰有一个偶数 时 正确的反设为 A a b c都是奇数B a b c都是偶数C a b
3、 c中至少有两个偶数D a b c中至少有两个偶数或都是奇数 解析 a b c恰有一个是偶数 即a b c中只有一个偶数 其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇数 故只有D正确 答案 D3 若a b 0则下列不等式中成立的是 答案 C4 任何三角形的外角都至少有两个钝角 的否定应是 解析 由命题的否定可得 答案 存在一个三角形 其外角最多有一个钝角 解析 取特殊值a 2 b 8 得x y 答案 x y 1 综合法是 由因导果 它是从已知条件出发 顺着推证 用综合法证明命题的逻辑关系是 A B1 B2 Bn B A为已经证明过的不等式 B为要证明的不等式 它的常见书面表达是 因为 所
4、以 或 2 分析法是 执果索因 一步步寻求上一步成立的充分条件 它是从要求证的结论出发 倒着分析 由未知想需知 由需知逐渐地靠近已知 已知条件 已经学过的定义 定理 公理 公式 法则等 用分析法证明命题的逻辑关系是 B B1 B2 Bn A 它的常见书面表达是 要证 只需证 或 又 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 3 0 x 1 2 y 1 2 z 1 2 3 0 式与 式矛盾 假设不成立 即a b c中至少有一个大于0 1 用反证法证明问题的一般步骤 分清命题的条件和结论 作出与命题结论相矛盾的假定命题 否定结论 从假定和条件出发 应用正确的推理方法 推出矛盾结果 推导矛盾 断定产生
5、矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真 于是原结论成立 从而间接证明了原命题为真命题 2 反证法主要适用于以下两种情形 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 如果从正面证明 需要分成多种情形进行分类讨论 而从反面进行证明 只要研究一种或很少的几种情形 因为x 0且y 0 所以1 x 2y 且1 y 2x 两式相加 得2 x y 2x 2y 所以x y 2 这与已知条件x y 2矛盾 本考点在高考中每年都要涉及 主要以考查直接证明中的综合法为主 反证法在客观题中经常作为判定方法进行考查 2009年辽宁卷18题就考查了反证法 2009年辽宁 如图 已知两个正方形ABCD
6、和DCEF不在同一平面内 M N分别为AB DF的中点 1 若平面ABCD 平面DCEF 求直线MN与平面DCEF所成角的正弦值 2 用反证法证明 直线ME与BN是两条异面直线 解析 1 取CD的中点G 连结MG NG 设正方形ABCD DCEF的边长为2 则MG CD MG 2 NG 因为平面ABCD 平面DCEF 所以MG 平面DCEF 可得 MNG是MN与平面DCEF所成的角 因为MN 所以sin MNG 为MN与平面DCEF所成角的正弦值 2 证明 假设直线ME与BN共面 则AB 平面MBEN 且平面MBEN与平面DCEF交于EN 由已知 两正方形不共面 故AB 平面DCEF 又AB CD 所以AB 平面DCEF 而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线 所以AB EN 又AB CD EF 所以EN EF 这与EN EF E矛盾 故假设不成立 所以ME与BN不共面 它们是异面直线 课时作业点击进入链接
