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1、第九编解析几何 9 1直线的方程 基础知识自主学习 要点梳理1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时 我们取x轴作为基准 x轴与直线l方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴平行或重合时 规定它的倾斜角为 倾斜角的范围为 正向 向上 0 180 0 2 直线的斜率 定义 一条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率 斜率常用小写字母k表示 即k 倾斜角是90 的直线斜率不存在 过两点的直线的斜率公式经过两点P1 x1 y1 P2 x2 y2 x1 x2 的直线的斜率公式为k 正切值 tan 2 直线方程的五种形式 3 过P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线方
2、程 1 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于x轴 方程为 2 若x1 x2 且y1 y2时 直线垂直于y轴 方程为 3 若x1 x2 0 且y1 y2时 直线即为y轴 方程为 4 若x1 x2 且y1 y2 0时 直线即为x轴 方程为 x x1 y y1 x 0 y 0 4 线段的中点坐标公式若点P1 P2的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 且线段P1P2的中点M的坐标为 x y 则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式 基础自测1 过点M 2 m N m 4 的直线的斜率等于1 则m的值为 A 1B 4C 1或3D 1或4解析 kMN 1 m 1 A 2 经过下列两点的直线的倾斜角是钝角
3、的是 A 18 8 4 4 B 0 0 1 C 0 1 3 2 D 4 1 0 1 解析对A过两点的直线斜率对B过两点的直线斜率对C过两点的直线斜率对D过两点的直线斜率 过D中两点的直线的倾斜角是钝角 答案D 3 下列四个命题中 假命题是 A 经过定点P x0 y0 的直线不一定都可以用方程y y0 k x x0 表示B 经过两个不同的点P1 x1 y1 P2 x2 y2 的直线都可以用方程 y y1 x2 x1 x x1 y2 y1 来表示C 与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程表示D 经过点Q 0 b 的直线都可以表示为y kx b解析A不能表示垂直于x轴的直线 故正确 B正确 C不能
4、表示过原点的直线即截距为0的直线 故也正确 D不能表示斜率不存在的直线 不正确 D 4 如果A C 0 且B C 0 那么直线Ax By C 0不通过 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限解析由题意知A B C 0 直线方程变为y x A C 0 B C 0 A B 0 其斜率k 0 在y轴上的截距b 0 直线过第一 二 四象限 C 5 一条直线经过点A 2 2 并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1 则此直线的方程为 解析设所求直线的方程为 A 2 2 在直线上 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1 a b 1 由 可得由 1 解得方程组 2 无解 故所求的直线方程为即x 2y 2
5、 0或2x y 2 0为所求直线的方程 答案x 2y 2 0或2x y 2 0 题型一直线的倾斜角 例1 若 则直线2xcos 3y 1 0的倾斜角的取值范围是 A B C D 题型分类深度剖析 思维启迪从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围 再确定倾斜角范围 解析设直线的倾斜角为 则tan cos 又 0 cos cos 0即 tan 0 注意到0 答案B 探究提高 1 求一个角的范围 是先求这个角某一个函数值的范围 再确定角的范围 2 在已知两个变量之间的关系式要求其中一个变量的范围 常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围 解决本题时 可以利用余弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围
6、其目的是消去变量得到 知能迁移1直线xsin y 1 0的倾斜角的变化范围是 A B 0 C D 解析直线x sin y 1 0的斜率是k sin 又 1 sin 1 1 k 1 当0 k 1时 倾斜角的范围是 当 1 k 0时 倾斜角的范围是 D 题型二直线的斜率 例2 已知直线l过点P 1 2 且与以A 2 3 B 3 0 为端点的线段相交 求直线l的斜率的取值范围 分别求出PA PB的斜率 直线l处于直线PA PB之间 根据斜率的几何意义利用数形结合即可求 解方法一如图所示 直线PA的斜率直线PB的斜率 思维启迪 当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时 它的斜率变化范围是 5
7、 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时 它的斜率的变化范围是 直线l的斜率的取值范围是方法二设直线l的斜率为k 则直线l的方程为y 2 k x 1 即kx y k 2 0 A B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上 2k 3 k 2 3k 0 k 2 0 即 k 5 4k 2 0 k 5或k 即直线l的斜率k的取值范围是 5 方法一运用了数形结合思想 当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时 需根据正切函数y tan的单调性求k的范围 数形结合是解析几何中的重要方法 解题时 借助图形及图形性质直观判断 明确解题思路 达到快捷解题的目的 方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使
8、问题得以解决 探究提高 知能迁移2已知点A 1 3 B 2 1 若直线l y k x 2 1与线段AB相交 则k的取值范围是 A k B k 2C k 或k 2D 2 k 解析由已知直线l恒过定点P 2 1 如图 若l与线段AB相交 则kPA k kPB kPA 2 kPB 2 k D 题型三求直线的方程 例3 求适合下列条件的直线方程 1 经过点P 3 2 且在两坐标轴上的截距相等 2 经过点A 1 3 且倾斜角等于直线y 3x的倾斜角的2倍 选择适当的直线方程形式 把所需要的条件求出即可 解 1 方法一设直线l在x y轴上的截距均为a 若a 0 即l过点 0 0 和 3 2 l的方程为y
9、x 即2x 3y 0 思维启迪 若a 0 则设l的方程为 l过点 3 2 a 5 l的方程为x y 5 0 综上可知 直线l的方程为2x 3y 0或x y 5 0 方法二由题意知 所求直线的斜率k存在且k 0 设直线方程为y 2 k x 3 令y 0 得x 3 令x 0 得y 2 3k 由已知3 2 3k 解得k 1或k 直线l的方程为y 2 x 3 或y 2 x 3 即x y 5 0或2x 3y 0 2 由已知 设直线y 3x的倾斜角为 则所求直线的倾斜角为2 tan 3 tan2 又直线经过点A 1 3 因此所求直线方程为y 3 x 1 即3x 4y 15 0 探究提高在求直线方程时 应先
10、选择适当的直线方程的形式 并注意各种形式的适用条件 用斜截式及点斜式时 直线的斜率必须存在 而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线 截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线 故在解题时 若采用截距式 应注意分类讨论 判断截距是否为零 若采用点斜式 应先考虑斜率不存在的情况 知能迁移3求下列直线l的方程 1 过点A 0 2 它的倾斜角的正弦值是 2 过点A 2 1 它的倾斜角是直线l1 3x 4y 5 0的倾斜角的一半 3 过点A 2 1 和直线x 2y 3 0与2x 3y 2 0的交点 解 1 设直线l的倾斜角为 则sin tan 由斜截式得y x 2 即3x 4y 8 0或3x 4y 8 0
11、2 设直线l和l1的倾斜角分别为 则解得tan 3或tan 舍去 由点斜式得y 1 3 x 2 即3x y 5 0 3 解方程组即两条直线的交点为 5 4 由两点式得即5x 7y 3 0 题型四直线方程的应用 例4 12分 过点P 2 1 的直线l交x轴 y轴正半轴于A B两点 求使 1 AOB面积最小时l的方程 2 PA PB 最小时l的方程 先求出AB所在的直线方程 再求出A B两点的坐标 表示出 ABO的面积 然后利用相关的数学知识求最值 思维启迪 解方法一设直线的方程为当且仅当 即a 4 b 2时 S AOB取最小值4 4分此时直线l的方程为6分 1分 3分 当且仅当a 2 1 b 1
12、 2 即a 3 b 3时 PA PB 取最小值4 此时直线l的方程为x y 3 0 12分 8分 10分 方法二设直线l的方程为y 1 k x 2 k 0 则l与x轴 y轴正半轴分别交于当且仅当 4k 即k 时取最小值 此时直线l的方程为y 1 x 2 即x 2y 4 0 6分 1分 3分 2 PA PB 10分当且仅当 4k2 即k 1时取得最小值 此时直线l的方程为y 1 x 2 即x y 3 0 12分求直线方程最常用的方法是待定系数法 本题所要求的直线过定点 设直线方程的点斜式 由另一条件确定斜率 思路顺理成章 而方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独特 需要较高的逻辑思维能力和分
13、析问题 解决问题的能力 探究提高 知能迁移4已知直线l kx y 1 2k 0 k R 1 证明 直线l过定点 2 若直线不经过第四象限 求k的取值范围 3 若直线l交x轴负半轴于A 交y轴正半轴于B AOB的面积为S 求S的最小值并求此时直线l的方程 1 证明直线l的方程是 k x 2 1 y 0 无论k取何值 直线总经过定点 2 1 2 解由方程知 当k 0时直线在x轴上的截距为 在y轴上的截距为1 2k 要使直线不经过第四象限 则必须有解之得k 0 当k 0时 直线为y 1 符合题意 故k 0 3 解由l的方程 得依题意得 方法与技巧1 要正确理解倾斜角的定义 明确倾斜角的取值范围 熟记
14、斜率公式 k 该公式与两点顺序无关 已知两点坐标 x1 x2 时 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率 当x1 x2 y1 y2时 直线的斜率不存在 此时直线的倾斜角为90 思想方法感悟提高 2 求斜率可用k tan 90 其中为倾斜角 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割 牢记 斜率变化分两段 90 是分界 遇到斜率要谨记 存在与否需讨论 3 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程 再求直线方程中的系数 这种方法叫待定系数法 4 重视轨迹法求直线方程的方法 即在所求直线上设一任意点P x y 再找出x y的一次关系式 例如求直线关于点对称的直线方程 求直线关于直线对称的直线方程就可用轨迹
15、法来求 失误与防范1 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在 每条直线都有倾斜角 但不一定每条直线都存在斜率 2 根据斜率求倾斜角 一是要注意倾斜角的范围 二是要考虑正切函数的单调性 3 利用一般式方程Ax By C 0求它的方向向量为 B A 不可记错 但同时注意方向向量是不唯一的 4 利用三种直线方程求直线方程时 要注意这三种直线方程都有适用范围 利用它们都不能求出垂直于x轴的直线方程 一 选择题1 直线l经过A 2 1 B 1 m2 m R 两点 那么直线l的倾斜角的取值范围是 A 0 B C D 解析k 1 m2 1 又k tan 0 所以l的倾斜角的取值范围为 定时检测 D 2 直线
16、l1 3x y 1 0 直线l2过点 1 0 且它的倾斜角是l1的倾斜角的2倍 则直线l2的方程为 A y 6x 1B y 6 x 1 C y x 1 D y x 1 解析由tan 3可求出直线l2的斜率k tan2 再由l2过点 1 0 即可求得直线方程 D 3 若直线 2m2 m 3 x m2 m y 4m 1在x轴上的截距为1 则实数m是 A 1B 2C D 2或解析当2m2 m 3 0时 在x轴上截距为 1 即2m2 3m 2 0 m 2或m D 4 直线x a2 1 y 1 0 a R 的倾斜角的取值范围是 A B C D 解析斜率k 1 故k 1 0 由图象知倾斜角 故选B B 5 直线ax y 1 0与连结A 2 3 B 3 2 的线段相交 则a的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 解析直线ax y 1 0过定点C 0 1 当直线处在AC与BC之间时 必与线段AB相交 应满足 a 或 a 即a 2或a 1 D 6 已知直线x 2及x 4与函数y log2x图象的交点分别为A B 与函数y lgx图象的交点分别为C D 则直线AB与CD A 相交 且
