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1、知识网络 本章归纳整合 要注意全称命题 特称命题的自然语言之间的转换 正确理解 或 的意义 日常用语中的 或 有两类用法 其一是 不可兼 的 或 其二是 可兼 的 或 我们这里仅研究 可兼 的 或 有的命题中省略了 且 或 要正确区分 常用 都是 表示全称肯定 它的存在性否定为 不都是 两者互为否定 用 都不是 表示全称否定 它的存在性肯定可用 至少有一个是 来表示 要点归纳 1 2 3 4 在判定充分条件 必要条件时 要注意既要看由p能否推出q 又要看由q能否推出p 不能顾此失彼 证明题一般是要求就充要条件进行论证 证明时要分两个方面 防止将充分条件和必要条件的证明弄混 否命题与命题的否定的
2、区别 对于命题 若p 则q 其否命题形式为 若活p 则q 其否定为 若p 则q 即否命题是将条件 结论同时否定 而命题的否定是只否定结论 有时一个命题的叙述方式是简略式 此时应先分清条件p 结论q 改写成 若p 则q 的形式再判断 5 6 专题一四种命题及其关系 把命题 若p 则q 作为原命题 对它的条件p和结论q作 换位 和 换质 否定 描述 分别得到逆命题 否命题与逆否命题 统称为四种命题 1 p q 换位 交换原命题的条件和结论 所得的命题是逆命题 若q 则p 2 p q 换质 同时否定命题的条件和结论 所得的命题是否命题 若綈p 则綈q 3 p q 换位 且 换质 交换原命题的条件和结
3、论 并且同时否定 所得的命题是逆否命题 若綈q 则綈p 原命题与它的逆命题 原命题与它的否命题之间的真假是不确定的 而原命题与它的逆否命题 它的逆命题与它的否命题 之间在真假上是始终保持一致的 同真同假 判断下列命题的真假 1 若x A B 则x B的逆命题与逆否命题 2 若0 x 5 则 x 2 3的否命题与逆否命题 3 设a b为向量 如果a b 则a b 0的逆命题和否命题 解 1 若x A B 则x B是假命题 故其逆否命题为假 逆命题为若x B 则x A B 为真命题 2 0 x 5 2 x 2 3 0 x 2 3 原命题为真 故其逆否命题为真 否命题 若x 0或x 5 则 x 2
4、3 例1 3 原命题 a b为向量 a b a b 0为真命题 逆命题 若a b为向量 a b 0 a b为真命题 否命题 a不垂直b a b 0也为真命题 关于充分条件 必要条件与充要条件的判定 实际上是对命题真假的判定 若p q 且pq 则p是q的充分不必要条件 同时q是p的必要不充分条件 若p q 则p是q的充要条件 同时q是p的充要条件 若pq 则p是q的既不充分也不必要条件 同时q是p的既不充分也不必要条件 充要条件可以与各章节内容相结合 所以是历年高考考查的热点之一 专题二充分条件 必要条件与充要条件 下列选项中 p是q的必要不充分条件的是 A p a c b d q a b且c
5、dB p a 1 b 1 q f x ax b a 0且a 1 的图象不过第二象限C p x 1 q x2 xD p a 1 q f x logax a 0且a 1 在 0 上为增函数解析B选项中 当b 1 a 1时 q推不出p成立 因而p为q的充分不必要条件 C选项中 q x 0或1 不能够推出p成立 因而p为q的充分不必要条件 D选项中 p q可以互推 因而p为q的充要条件 故本题选A 答案A 例2 全称命题 x M p x 强调命题的一般性 因此 1 要证明它是真命题 需对集合M中每一个元素x 证明p x 成立 2 要判断它是假命题 只要在集合M中找到一个元素x0 使p x0 不成立即可
6、 特称命题 x0 M p x0 强调结论的存在性 因此 1 要证明它是真命题 只需在集合M中找到一个元素x0 使p x0 成立即可 2 要判断它是假命题 需对集合M中每一个元素x 证明p x 不成立 专题三全称命题与特称命题 在下列四个命题中 真命题的个数是 x R x2 x 3 0 例3 0 0 R 使sin 0 0 sin 0 sin 0 x0 y0 Z 使3x0 2y0 10 A 1B 2C 3D 4 故 是真命题 中x0 4 y0 1时 3x0 2y0 10成立 故 是真命题 答案C 已知命题p 任意非零向量a b c 若a b c 0 则b c 写出其否定和否命题 并说明真假 解綈p
7、 存在非零向量a b c 若a b c 0 则b c 綈p为真命题 否命题 任意非零向量a b c 若a b c 0 则b c 否命题为真命题 例4 命题真假的判断 充要条件的判定 含一个量词的命题的否定是高考考查的重点 其中命题真假的判断和充要条件的判定往往与其他知识相结合 考查相关知识点 体现了在知识交汇点处命题的特点 一般以选择题的形式出现 难度不大 常见的考查角度有以下几种 1 对于命题的判断问题 在高考中往往涉及多个知识点综合进行考查 命题趋势 考查知识点涉及逻辑联结词 三角函数 不等式 立体几何初步等诸多内容 得到命题者的青睐 该部分的考查重点有两个 1 是综合其他知识 考查一些简
8、单命题真假的判断 2 是考查命题四种形式之间的关系 体现了考纲对 命题 充分条件 三角函数的有界性 不等式的性质以及空间线面关系等 的要求 解决此类问题的关键是灵活根据题干和选择项进行判断 主要是选出错误的命题 所以可以利用特例法确定选择项 即只需举出一个反例即可说明命题是假命题 对于较难判断的问题 可以转化为它的逆否命题的判断来解决 2 充分条件 必要条件和充要条件是对命题进行研究和考查的重要途径 是高考重点考查的内容 往往在不同知识点的交汇处进行命题 考查面十分广泛 涵盖函数 立体几何 不等式 向量 三角等内容 通过对命题条件和结论的分析 考查对数学概念的准确记忆和深层次的理解 3 逻辑联
9、结词在近几年的高考试题中经常出现 主要是含有逻辑联结词的命题的判断问题 所以正确理解逻辑联结词的含义 准确把握含有三个逻辑联结词的复合命题的判断方法 熟记规律 已知命题p q 只要有一个命题为假 p q就为假 只要有一个为真 p q就为真 p与p真假相对 另外注意命题的否定与命题的否命题的区别 这是两个很容易混淆的概念 要准确把握它们的基本形式 不能混淆 4 解决全称量词与存在量词问题需要注意两个方面 一是准确掌握含有全称量词与存在量词的命题的否定形式 这两类命题的否定形式有严格的格式 不要和一般命题的否命题的形式混淆 二是要掌握判断全称命题与特称命题的真假的特例法 即只要找出一个反例就可说明全称命题为假 只要找到一个正例就可以说明特称命题为真
