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1、数学归纳法 对于一些与无限多个正整数相关的命题 如果不易用以前学习过的方法证明 用数学归纳法可能会收到较好的效果 什么是数学归纳法 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当n n0时命题成立 2 假设当n k时命题成立 证明n k 1时命题也成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 用数学归纳法证明时 要分两个步骤 两者缺一不可 1 证明了第一步 就获得了递推的基础 但仅靠这一步还不能说明结论的正确性 在这一步中 只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了 没有必要验证命题
2、对几个正整数成立 2 证明了第二步 就获得了推理的依据 仅有第二步而没有第一步 则失去了递推的基础 而只有第一步而没有第二步 就可能得出不正确的结论 因为单靠第一步 我们无法递推下去 所以我们无法判断命题对n0 1 n0 2 是否正确 在第二步中 n k命题成立 可以作为条件加以运用 而n k 1时的情况则有待利用命题的已知条件 公理 定理 定义加以证明 完成一 二步后 最后对命题做一个总的结论 一 用数学归纳法证明等式问题 特别提示 数学归纳法证题的关键是 一凑假设 二凑结论 在证题的过程中 归纳推理一定要起到条件的作用 即证明n k 1成立时必须用到归纳递推这一条件 课堂练习 C B B C B D B 二 用数学归纳法证明几何问题 特别提示 用数学归纳法证几何问题 应特别注意语言叙述正确 清楚 一定要讲清从n k到n k 1时 新增加量是多少 一般地 证明第二步常用的方法是加一法 即在原来的基础上 再增加一个 也可以从k 1个中分出一个来 剩下的k个利用假设 补充练习 二 用数学归纳法证明不等式问题
