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1、构造直线和圆锥曲线相交解题http:/www.DearEDU.com 田发胜 李绍亮直线和圆锥曲线相交是解析几何中的一个重要内容,也是历年来高考必考的重要知识点之一。例1. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离。解:(1)当AB所在直线斜率不存在时,易知此时点M坐标为,从而知点M到y轴的距离为。(2)当AB所在直线斜率存在时,设其方程为,从而A、B可看作是该直线与抛物线的交点。由 得设A()、B(),则相应的,点M的坐标为。此时点M到y轴的距离,则由判别式0,得(当且仅当时取到等号)。由(1)(2)知,点M到y轴的最小距离为。例2. 点A和点
2、B是抛物线上除原点以外的两个动点。已知OAOB,OMAB于M,求点M的轨迹方程。解:当AB所在直线斜率不存在时,M为一定点,坐标为(4p,0)。当AB所在直线斜率存在时,设其方程为由得设,则由OAOB,知,则设M(x,y),由OMAB,知,则由及消去k、b得:又易知x0,且(4p,0)也满足上式,则点M的轨迹方程为:例3. 已知椭圆方程为,试确定m的取值范围,使得对于直线,椭圆上有不同的两点关于该直线对称。解:设A()、B()是椭圆上关于对称的两点,则AB所在直线方程可设为。由得该方程有两个不同的根,则0,即由韦达定理,知则A、B的中点的坐标为,它在直线上,解得。故所求m的取值范围是。例4. 正方形ABCD在直角坐标平面内,已知其两个顶点A、B在直线上,另两个顶点C、D在抛物线上,求正方形ABCD的面积。解:正方形ABCD中,AB/CD,可设CD所在直线方程为由得设C()、D(),则又,则,解得或。所求正方形的面积为。综观上述各题的解答,其思路自然,过程直观流畅。因此,构造直线和圆锥曲线解题,在平时的学习中,应引起重视。用心 爱心 专心 119号编辑 3