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1、泉州一中20142015学年度第一学期十二月考试题高三 数学（理科） 卷 时间120分钟 满分150分一、选择题(本题每小题5分，满分50分.请将答案填写在卷上)1、已知集合，则为（ B）A B. C. D. 2、已知等差数列中，是方程的两根，则（ D ） A B C1007 D20143、下列命题正确的是（ A ）C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ C
2、 ）A12 B.45 C.57 D.815、 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则=（ C ）A-4 B-6 C-8 D-106、已知变量满足约束条件，则的最大值为( B ) A.8 B.11 C.9 D.127、为了得到函数的图象，只需把函数的图象（B ）A向左平移个长度单位 B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位 D向右平移个长度单位8、已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为(A ) A. B. C. D. 不存在9、下列命题正确的个数有( C )（1）命题“为真”是命题“为真”的必要不充分条件（2）命题“,使得”的否定是:“对, 均有”（3）函数，若，且，则的最小值为
3、2（4）在数列中, ,是其前项和,且满足,则是等比数列A3个 B2个 C1个 D0个10、数列的前n项和记为，则=( A )A.-2016 B. -2015 C.-2014 D-1007二、填空题(每题4分，本题满分20分.)11. 设复数，则 12. 观察下列不等式;，照此规律，第五个不等式为 .13、已知数列中，,则 14、已知正方形的边长为，为中点，则 2 15、在平面区域D：上任取一点，则有序实数对满足一元二次方程有一根在，另一根在条件的概率为 三、解答题（本题共6小题，共80分）16、（本小题满分13分）已知函数，其中，.（）求函数的最大值和及单调递增区间；（）设的内角的对边分别是，
4、且，若，求的面积。解：（I）=3分的最大值为0；由，得故函数的单调递增区间为6分（），又，解得8分 又，由正弦定理-，10分由余弦定理，即-11分由解得：，.故13分17、（本小题满分13分）已知数列满足a11，.(1)证明：是等比数列，并求an的通项公式；(2) ,数列bn的前n项和,求.17解：(1)由得.又a123，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 4分所以，因此数列an的通项公式为. 6分(2)证明：由(1)知 8分 13分18、（本小题满分13分）即化简得，解得 6分答：AB的长度应在内 7分 （2）（平方米） 10分（米） 此时AD=20米 答：AB=15O米，AD=10米时，
5、学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米 13分19（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.()求证:AA1平面ABC;()求二面角A1-BC1-B1的余弦值;()证明:在线段BC1存在点D,使得ADA1B,并求的值.解:(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 AC. 因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1平面ABC. 3分(II)由(I)知AA1 AC,AA1 AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如图,以A为原点建立空间直
6、角坐标系A-,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 4分设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,所以.6分同理可得,平面BB1C1的法向量为,7分所以. 由图知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为. 9分(III)设D是直线BC1上一点,且. 所以.解得,. 所以. 由,即.解得. 因为,所以在线段BC1上存在点D, 使得ADA1B. 此时,. 13分20、（本小题满分14分）设等差数列an的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)2x的图像上(nN*)(1)若a12，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，
7、求数列an的前n项和Sn；(2)若a11，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前n项和Tn.20解：(1)由已知得，b72a7，b82a84b7，所以2a842a72a72，解得da8a72， 4分所以Snna1d2nn(n1)n23n. 6分(2)函数f(x)2x在点(a2，b2)处的切线方程为y2a2(2a2ln 2)(xa2)，其在x轴上的截距为a2.由题意有a22，解得a22.所以da2a11.从而ann，bn2n， 所以数列的通项公式为， 9分所以Tn，2Tn，因此，2TnTn12.所以，Tn. 13分21.（本小题满分14分）已知函数设两曲线有公
8、共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立 关于的函数关系式；若任意，在(0,4)上为单调函数，求的取值范围。(3)a=-1,b=0, 设正项数列满足，证明：存在常数M,使得对于任意的，都有.4分.8分（3）令，则在（1,3）递减，递增，且在有且仅有一个零点设为（且4），即.10分.若，由，得，又在递增，有，故猜想，下面用数学归纳法证明n=2时，已证明成立假设当时，有成立，则当时，由，由，得，又在递增，有，因此，当时，成立。综上，对任意的，成立。 12分（2）当4时，猜测：。下面用数学归纳法证明：当时，显然成立；假设当时，有成立，则当时，由在上单调递增。则，即,由，得，又在递增，有，因此，当时，成立。综上，对任意的，成立。综上所述，存在常数，使得对于任意的，都有.14分 - 8 -
