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1、64 数学问题解答 2007年9月号问题解答 解答由问题提供人给出 1691 ABC中 AB AC D 在BC上且BD 2DC E在A D 上且 AB E CA E 求证 BED 2 CED 安徽省怀宁县江镇中学 黄全福 246142 证明 易知 BED AB E BA E CA E BA E BA C 又 BDE BCA CBA DB E ED 1时 n i 1 ai C 1 n 当m 2时 i j ajaj C 2 n 当m k时 i1 i2 ik互异a i1ai2 aik C k n n i 1 ai C n n 江苏丹阳市教研室 戎健君 210013 证明 由幂平均不等式得 n i 1
2、 ai n n i 1 a m i n 1 m 1 m 1 所以 n i 1 ai n C 1 n n i 1 a 2 i n 1 2 n i 1 a m i m 1 m 1 m 2 所以 n i 1 a 2 i n 而2 i j aiaj n 1 n i 1 a 2 i 所以 i j aiaj n n 1 2 C 2 n 一般地 由算术平均 几何平均不等式得 a k 1 a k 2 a k k 1 a k k ka1a2 ak 1ak a k 1 a k 2 a k k 1 a k k 1 ka1a2 ak 1ak 1 a k 1 a k n k 2 a k n 1 a k n kanan
3、k 2 an 1an a k n k 1 a k n k 2 a k n 1 a k n kan k 1an k 2 an 1an 以上各式左端均有k项 且每个a k i i 1 2 n 分别含在C k 1 n 1个式子中 将以上各式相加得 C k 1 n 1 n i 1 a k i k i1 i2 ik互异a i1ai2 aik 而当m k时 n i 1 a k i n 1 k n i 1 a m i n 1 m 1 所以 n i 1 a k i n 所以 i1 i2 ik互异a i1ai2 aik n k C k 1 n 1 C k n 又n n i 1 a m i n n a 1a2 a
4、n m 所以a1a2 an 1 C n n 1694 设a b c R 且a b c 1 求y 3 a 1 3 b 1 3 c 1的取值范围 南京市上新河中学 丁兴春 210036 解 先求上界 由幂平均不等式有 3 a 1 3 b 1 3 c 1 3 3 a 1 b 1 c 1 3 4 3 从而 3 a 1 3 b 1 3 c 1 3 3 4 3 3 36 当且仅当a b c 1 3 时取等号 再求下界 设 3 a 1 3 x 3 a 3x 2 a 3xa 1 其中x 3 a 3x 2 a 3xa a 即x 3 3x 2 3x 1解得x 3 2 1 由于0 a 3 xa 3 3 xa 2 3
5、xa 1 xa 1 同样 3 b 1 xb 1 3 c 1 xc 1 以上三式相加有 3 a 1 3 b 1 3 c 1 x a b c 3 x 3 3 2 2 易知当a 1 b 0 c 0时 3 a 1 3 b 1 3 c 1 3 2 2 从而 3 a 1 3 b 1 3 c 1 3 2 2不能 改进 所以 3 2 20 且a b 1 求证 a a 3 b 4 b a 4 b 3 16 3 浙江省绍兴市高级中学 戴志祥 312000 1697 已知 ABC中 AB AC 点D1在BC上 连结AD1 作D1F1 AB于F1 D1F2 直线AC于 F2 连结F1F2 作AG F1F2于G 交BC
6、于D2 AE 为 ABC的 BA C外角的平分线 求证 1 BE 1 CE 1 ED1 1 ED2 北京朝阳区教研中心 郭璋 100028 1698 ABC的三边长分别为a b c 且b 2 ac 求 证 9 5 10 7 2 a a b b b c c c a 9 5 10 1 2 陕西省绥德中学 刘永春 718000 1699 证明 1 21 13 8 8n 5 n k 1 1 k 2 5 3 2 2n 1 n 1 n N 2 269 164 16 16n 9 n k 1 1 k 2 33 20 2 2n 1 n 2 n N 陕西省绥德中学 王守文 718000 1700 1 若x1 x2 x2005 1 4 且x1 x2 x2005 5012 试求x1 x2 x2005的最小值 2 若x1 x2 x2005 1 4 且x1x2 x2005 2 2005 试求x1 x2 x2005的最大值 湖南省岳阳县水泥厂 章湘宏 414100 刊号 ISSN 0583 1458 CN11 2254 O1 全国各地邮局订购 代号 2 501 全年定价 72 00元 每期定价 6100元
