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1、数学问题解答 2003年7月号问题解答 解答由问题提供人给出 1441 O为锐角 ABC 的外心 AP BC于P O 到BC的距离为d 且CO 2d ACO ABC 求证 COP QC PQ PC 所以OP PC 所以 POC PCO 亦即 POC 6abc 1443 设x 3 n是正整数 求证 n i 1 xi i 1 i 2 x 1 2 n n 1 宁波市甬江职高综合高中部 邵剑波 315000 证明 1 当n 1时 左边 x2 3 x 右 边 2 假设当n k时不等式成立 即 k i 1 xi i 1 i 2 x 1 2 k k 1 那么当n k 1时 利用假设得 k 1 i 1 xi
2、i 1 i 2 k i 1 xi i 1 i 2 x k 1 k 2 k 3 x 1 2 k k 1 x k 1 k 2 k 3 如果我们能证明 当x 3时 x 1 2 k k 1 x k 1 k 2 k 3 x 1 2 k 1 k 2 成立 则完成了全部的证明 上式变形得 1 x 1 2 k 1 k 4 k 3 xk 1 令y x 1 2 k 1 3 1 2 k 1 则上式又变为 1 yk 4 k 3 y2 1 我们可以证明更强的结果 即 1 式对y 1 恒成立 1 式等价于yk 4 k 3 y 2 1 842003年 第8期 数学通报 1994 2008 China Academic Jo
3、urnal Electronic Publishing House All rights reserved yk 2 k 3 1 1 y2 yk 2 1 1 y2 k 3 yk 2 1 1 y2 1 y4 1 y6 k 3 2 当k 2 2m时 2 式左边等于 y2m y2m 2 y2 1 1 y2 1 y2m 1 y2 1 y2 y 4 1 y4 y2m 1 y2m 1 2m k 3 当k 2 2m 1时 2 式左边等于 y2m 1 y2m 3 y 1 y 1 y2m 1 y 1 y y3 1 y3 y2m 1 1 y2m 1 2m k 3 1444 设 bn 是公差为d的等差数列 k 2
4、且 k N 求 数 列b1b2 bk b2b3 bk 1 bnbn 1 bn k 1 前n项和Sn 陕西省咸阳师范学校 吴启斌 712000 解 构造新数列 a1 b1b2 bkbk 1 a2 b2b3 bk 1bk 2 an bnbn 1 bn k 1bn k 因为a i 1 a i bi 1bi 2 bi kbi k 1 bibi 1 bi k bi 1bi 2 bi k b i k 1 bi bi 1bi 2 bi k k 1 d i 1 2 3 由此可见S n中每两项之差的 1 k 1 d 就是 Sn中除首项外的其余各项 于是 n 1 i 1 a i 1 a i k 1 d Sn b1
5、b2 bk 即 a n a 1 k 1 d S n b1b2 bk 所以 Sn a n a 1 k 1 d b1b2 bk 1 k 1 d bnbn 1 bn k 1bn k b1b2 bkbk 1 k 1 db 1b2 bk 1 k 1 d bnbn 1 bn k 1bn k b1b2 bk d b1 1445 若 0 且 2 求证 sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin 安徽潜山县第二中学 琚国起 246300 解 因为 0 2 则有 sin2 sin2 1 1 2 cos2 cos2 1 cos cos 1 sin cos 1 sin 等号仅当 时成立
6、 同理 sin2 sin2 1 sin sin2 sin2 1 sin 三式相加得到 sin2 sin2 sin2 3 2 1 2 sin sin sin 等号当且仅当 时成立 sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 2 sin2 sin2 sin2 sin sin sin 2 1 2 sin sin sin 3 2 sin sin sin 1 4 2 25 16 因为sin sin sin 3sin 3 3 2 当且仅当 时取等号 明显地 有 sin sin sin 1 4 因 中至少有一角大于 6 所以 s
7、in sin sin 1 4 2 3 2 1 4 2 25 16 所以 sin sin sin 1 4 2 25 16 0 即 sin sin sin 2 sin sin sin sin sin sin 2003年8月号问题 来稿请注明出处 编者 1446 设x 0 a 0 求使不等式 1 x 1 x 2 x2 a 成立的最大的a 宁波市甬江职高综合高中部 邵剑波 315000 1447 已知二次函数f x ax2 bx c在 m 下转第47页 2003年 第8期 数学通报 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House
8、 All rights reserved 二 1 填空题 13 同新课程卷 13 14 使log2 x 0 设P 函数y cx在R上单调递减 Q 不等式x x 2c 1的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确 求c的取值 范围 20 在某海滨城市附 近海面有一台风 据监测 当前台风 中 心 位 于 城 市 O 如图 的东偏 南 arccos 2 10 方向300公里 的海面P处 并以 20km h的速度向 西偏北45 方向转 移 台风侵袭的范围为圆形区域 当前半径为 60km 并以10km h的速度不断增大 问几小 时后该城市开始受到台风的侵袭 21 已知常数a 0 在 矩形ABCD中 AB 4
9、 BC 4a O为 AB的中点 点E F G分 别 在BC CD DA上移动 且 BE BC CF CD DG DA P 为GE与OF的交点 如图 问是否存在两个 定点 使P到这两点的距离的和为定值 若 存在 求出这两点的坐标及此定值 若不存 在 请说明理由 22 设 an 是集合 2t 2s0 s t 且 s t Z 中所有的数从小到大排列成的 数列 即a1 3 a2 5 a3 6 a4 9 a5 10 a6 12 将数列 an 各项按照上小下大 左小右 大的原则写成如下的三角形数表 3 5 6 9 10 12 写出这个三角形数表的第四行 第五 行各数 求a100 本小题为附加题 如果解答正
10、确 加4 分 但全卷总分不超过150分 设 bn 是集合 2t 2s 2 r 0 r s 0 k为常数 求证 抛物线y f x 与直 线y kx有两个不同交点 湖 北 谷 城 县 第 三 高 级 中 学 贺 斌 441700 1448 设a0 a1 a2 满足a0 1 2 ak 1 ak 1 n a2k k 0 1 2 其中n是某个固定的正整 数 求证 1 1 n an 1 广 东 湛 江 师 范 学 院4991 彭 学 龙 524048 1449 线段AC BD交于点O AC BC AD BD 过A作AE BC交射线BD于E 过B作BF AD交射线AC于F 求证 AE BE AF BF 湖南长沙一中 罗欲晓 410005 1450 过 ABC内一点M分别作AM BM CM的 垂线 三条垂线分别与边BC CA AB 或延长线 交于点P Q R 求证 P Q R三点共线 贵州省台江民族中学 邰圭 556300 742003年 第8期 数学通报 1994 2008 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved
